calimero92
Rispondi Cita Salva
Ciao :hi
mi potete siegare come si risolvono queste due equazioni:

1)
[math]\frac{1-2|senx|}{1+senx}> \0[/math]

2)
[math]\sqrt{4sen^2x-1}< \ \sqrt{2}senx[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
Partiamo dalla prima.

Per prima cosa, devi valutare gli intervalli in cui il valore assoluto non opera (ovvero quando l'argomento e' di per se' maggiore o uguale a zero) e quando invece interviene.

Non so se gli esercizi ti vengono richiesti nell'intervallo limitato
[math] 0 \le x \le 2 \pi [/math]
o su tutto l'insieme dei Reali.
Io ti posto la soluzione su tutto l'insieme dei reali.
Al massimo, se l'intervallo di studio e' limitato, e' sufficiente che tu non consideri i periodi.

[math] \sin x \ge 0 \to 2k \pi \le x \le \pi + 2k \pi [/math]

Pertanto in questo intervallo la disequazione sara'

[math] \frac{1-2 \sin x}{1+ \sin x} > 0 [/math]

Si tratta di una disequazione fratta, pertanto studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

NUMERATORE
[math] 1-2 \sin x > 0 \to \sin x < \frac12 [/math]

Se guardi la circonferenza goniometrica, la parte di circonferenza in cui il seno e' minore di 1/2 e' l'arco:

[math] 2k \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2k \pi \ U \ \frac56 \pi +2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi [/math]

DENOMINATORE

[math] 1+ \sin x > 0 \to \sin x > -1 [/math]

e pertanto
[math] x \ne \frac32 \pi + 2k \pi [/math]

L'insieme soluzioni sara' (dal grafico dei segni, che ti limiterai a fare da 0 a 2pigreco, dal momento che siamo in una situazione periodica)

[math] 2k \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2k \pi \ U \ \frac56 \pi +2k \pi < x < \frac32 \pi \ U \ \frac32 \pi <x< 2 \pi + 2k \pi [/math]

Ricordandoci che stiamo pero' studiando SOLO l'intervallo in cui

[math] \sin x \ge 0 \to 2k \pi \le x \le \pi + 2k \pi [/math]

mettendo a sistema le soluzioni trovate con l'intervallo di studio, otterrai la soluzione

[math] 2k \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2k \pi \ U \ \frac56 \pi +2k \pi < x < \pi + 2k \pi [/math]

Valutiamo ora dove il valore assoluto opera

[math] \sin x < 0 \to \pi + 2k \pi < x < 2 \pi + 2k \pi [/math]

allora in questo intervallo, siccome l'argomento del valore assoluto sappiamo che sara' negativo, il valore assoluto operera' cambiando di segno l'argomento.

e quindi in questo intervallo studiamo

[math] \frac{1+2 \sin x}{1+ \sin x} > 0 [/math]

NUMERATORE

[math] 1+2 \sin x > 0 \to \sin x < - \frac12 \to \frac76 \pi + 2k \pi < x < \frac{11}{6} \pi + 2k \pi [/math]

DENOMINATORE GIA' FATTO PRIMA

soluzione:

[math] \frac76 \pi + 2k \pi < x < \frac32 \pi + 2k \pi \ U \ \frac32 \pi + 2k \pi < x < \frac{11}{6} \pi + 2k \pi [/math]

che a sistema con l'intervallo di studio di questo "pezzo" non cambia, dal momento che tutta questa soluzione e' nell'intervallo che consideravamo.

La soluzione FINALE della disequazione e' l'unione delle due soluzioni trovate e pertanto sara':

[math] 2k \pi < x < \frac{ \pi}{6} + 2k \pi \ U \ \frac56 \pi +2k \pi < x < \pi + 2k \pi \ U \\ \frac76 \pi + 2k \pi < x < \frac32 \pi + 2k \pi \ U \ \frac32 \pi + 2k \pi < x < \frac{11}{6} \pi + 2k \pi [/math]

Fammi sapere se e' chiara, cosi' passiamo alla successiva.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
Puoi fare le valutazioni del caso SIA sulla sinusoide che sulla circonferenza goniometrica.

Non fa grossa differenza.

Guarda tu dove ti viene piu' semplice :D

La valutazione del seno la fai sull'asse y in tutti i casi.

A me viene piu' semplice tracciarmi la perpendicolare all'asse y sulla circonferenza goniometrica e segnarmi poi i valori degli angoli corrispondenti a quel seno.

Poi marco la circonferenza che sta sopra (se e' senx > ) o sotto (se e' senx <;)

Analogamente quando ho il coseno, traccio la perpendicolare all'asse x in corrispondenza di quel valore del coseno.

E prendo il "pezzo" di circonferenza che sta a destra se e' cos > o a sinistra se e' cos<

Pero' se vuoi ragionarla sulla sinusoide, va benissimo, anche perche' la sinusoide altro non e' che lo sviluppo "orizziontale" di uno studio fatto sulla circonferenza..

Quindi e' la stessa cosa.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
La seconda e' una disequazione irrazionale.

Ricordi come si risolvono in generale?

Ti faccio un veloce "ripasso"

Se hai

[math] \sqrt{ p(x)} > q(x) [/math]

allora le soluzioni sono date dall'unione delle soluzioni dei due sistemi:

[math] \{p(x) \ge 0 \\ q(x)<0[/math]
e
[math] \{q(x) > 0 \\ p(x) > q^2 (x) [/math]

Nel caso (come quello da te proposto)

[math] \sqrt{p(x)} < q(x) [/math]

le soluzioni sono quelle date dall'unico sistema

[math] \{p(x) \ge 0 \\ q(x)>0 \\ p(x) < q^2 (x) [/math]

Questa te la posto senza i periodi, pero', altirmenti non mi passa piu'!

La prima disequazione (campo di esistenza) sara'

[math] 4 \sin^2 x - 1 \ge 0 \to (2 \sin x -1)(2 \sin x +1 ) >0 [/math]

[math] \sin x < - \frac12 \ U \ \sin x > \frac12 [/math]

e dunque

[math] \frac76 \pi < x < \frac{11}{6} \pi \ U \ \frac{ \pi}{6} < x < \frac56 \pi [/math]

La seconda

[math] \sqrt2 \sin x > 0 \to \sin x > 0 \to 0 < x < \pi [/math]

La terza

[math] 4 \sin^2 x - 1 < 2 \sin^2 x \to 2 \sin^2 x -1 < 0 [/math]

[math] ( \sqrt2 \sin x - 1)( \sqrt2 \sin x + 1) < 0 [/math]

[math] - \frac{1}{\sqrt2} < \sin x < \frac{1}{\sqrt2} [/math]

ovvero (razionalizzando)

[math] - \frac{\sqrt2}{2} < \sin x < \frac{\sqrt2}{2} [/math]

e quindi

[math]0 < x < \frac{\pi}{4} \ U \ \frac34 \pi < x < \frac54 \pi \ U \ \frac74 \pi < x < 2 \pi [/math]

La soluzione del sistema:

se tracci sulla circonferenza tutti e tre gli intervalli trovati, vedrai che coesistono solo in

[math] \frac{ \pi}{6} < x < \frac{ \pi}{4} \ U \ \frac34 \pi < x < \frac56 \pi [/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
di niente.
Alla prossima.
Questo topic è bloccato, non sono ammesse altre risposte.
Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 248 Punti

Comm. Leader
ellis.ant.1

ellis.ant.1 Geek 121 Punti

VIP
Registrati via email