drynnn
drynnn - Sapiens - 351 Punti
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Ciao a tutti! :) Potreste aiutarmi correggendo queste disequazioni esponenziali per favore?
a)5^4-x-(1/5)^radx-1 <=0
C.E. x-1>=0 x>= +1

5^4-x-5^-radx-1<=0
4-x<= -radx-1
radx-1>= -4+x
apro i due sistemi per la disequazione irrazionale

x-1>=0 --> x>=1 -4+x>=0 --> x>=4
v
-4+x<0 --> x<4 -x^2+9x-17>=0 --> 9-rad13/2<=x<=9-rad13/2

intersezione delle soluzioni:
1<=x<4 4<=x<=9+rad13/2
unione:

x<=+1 --> non accettabile
x>=9+rad13/2 --> accettabile [9+rad13/2; +inf[

b) (e^2x-e^radx+2)(2^1-x-2^X)<=0
C.E. x+2>=0 --> x>=-2
F1: 2x-radx+2<=0
radx+2>=+2x
apro i due sistemi
x+2>=0 --> x>=-2 2x>=0 --> x>=0
v
2x<0 --> x<0 -4x^2+x+2>=0 --> -1+-rad25/-8 --> -1/2<=x<=3/4

intersezione:
-2<=x<0 0<=x<=3/4
unione:
x<=-2 non accettabile
x>=3/4

F2: 1-x-x<=0 --> -2x<=-1 --> x>= 1/2

unione F1 e F2

1/2<=x<=3/4

c) (2^x-8)(2^2x-3X2^x+1+8)>=0
(2^x-2^3)(2x-3X2X2^x+2^3)>=0
t=2^x
(2^x-2^3)>=0 --> x>=3
(t^2-6t+8)>=0 --> 6+-2/2 --> 2<=x<=4
unione delle soluzioni:
x<=2 v 3<=x<=4

Grazie!
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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Noto l'impegno con cui hai scritto il tutto, però se non si scrive in LaTeX difficilmente si può essere capiti a fondo. Cliccando su "Cita" in questa risposta puoi vedere e quindi in futuro imitare il codice.


a.

[math]
\begin{aligned}

5^{4 - x} - \left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{x - 1}} \le 0 \;

& \Leftrightarrow \; 5^{4 - x} \le 5^{-\sqrt{x - 1}} \\

& \Leftrightarrow \; 4 - x \le -\sqrt{x - 1} \\

& \Leftrightarrow \; \sqrt{x - 1} \le x - 4 \\

& \Leftrightarrow \; \begin{cases}
x - 4 > 0 \\
x - 1 \ge 0 \\
x - 1 \le (x - 4)^2
\end{cases} \\

& \Leftrightarrow \; \dots

\end{aligned}
[/math]

[math]\left\{ x \ge \frac{9 + \sqrt{13}}{2} \right\}[/math]



b.

[math]\left(e^{2x} - e^{\sqrt{x + 2}}\right)
\left(2^{1 - x} - 2^x\right) \le 0 \\[/math]

C.E.:
[math]x + 2 \ge 0 \;
\Leftrightarrow \; x \ge - 2 \\[/math]
.
[math]
\begin{aligned}

(i) \; \; \; e^{2x} - e^{\sqrt{x + 2}} \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; e^{2x} \ge e^{\sqrt{x + 2}} \\

& \Leftrightarrow \; 2x \ge \sqrt{x + 2} \\

& \Leftrightarrow \; \sqrt{x + 2} \le 2x \\

& \Leftrightarrow \; \begin{cases}
2x > 0 \\
x + 2 \ge 0 \\
x + 2 \le (2x)^2
\end{cases} \\

& \Leftrightarrow \; \dots

\end{aligned}
\\[/math]


[math]
\begin{aligned}

(ii) \; \; \; 2^{1 - x} - 2^x \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^{1 - x} \ge 2^x \\

& \Leftrightarrow \; 1 - x \ge x \\

& \Leftrightarrow \; x \le \frac{1}{2}

\end{aligned}
\\[/math]

Dunque occorre fare il prodotto dei segni delle due soluzioni (tenendo ben a mente di non considerare gli intervalli esclusi dalle condizioni di esistenza) e selezionare gli intervalli in
cui risulta minore o uguale a zero.

[math]\left\{ -2 \le x \le \frac{1}{2} \, \vee \,
x \ge \frac{1 + \sqrt{33}}{8} \right\}[/math]



c.

[math]
\small
\begin{aligned}

\left(2^{2x} - 3 \cdot 2^{x + 1} +
8\right)\left(2^x - 8\right) \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; \left[\left(2^{x}\right)^2 - 4 \cdot
2^{x} - 2 \cdot 2^{x} + 8\right]\left(2^x - 8\right) \ge 0 \\

& \Leftrightarrow \; \left[2^x\left(2^x - 4\right) -
2\left(2^x - 4\right)\right]\left(2^x - 8\right) \ge 0 \\

& \Leftrightarrow \; \left(2^x - 2\right)
\left(2^x - 4\right)\left(2^x - 8\right) \ge 0

\end{aligned}
[/math]


[math]
\begin{aligned}

(i) \; \; \; 2^x - 2 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^1 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 1

\end{aligned}
\\[/math]

[math]
\begin{aligned}

(ii) \; \; \; 2^x - 4 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^2 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 2

\end{aligned}
\\[/math]

[math]
\begin{aligned}

(iii) \; \; \; 2^x - 8 \ge 0 \;

& \Leftrightarrow \; 2^x \ge 2^3 \\

& \Leftrightarrow \; x \ge 3

\end{aligned}
\\[/math]

Dunque occorre fare il prodotto dei segni delle tre soluzioni e selezionare gli intervalli in
cui risulta maggiore o uguale a zero.

[math]\left\{ 1 \le x \le 2 \,
\vee \, x \ge 3 \right\}[/math]



Per altri dubbi non esitare a chiedere. ;)
drynnn
drynnn - Sapiens - 351 Punti
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Mi dispiace è vero, non si capisce molto...ho ancora due domande, perchè nel punto b ha studiato tutto maggiore uguale a zero? E nel punto c come ha fatto ad ottenere questo
[math]-4*2^{x}-2*2^{x}[/math]
nel primo passaggio? Grazie :hi
TeM
TeM - Eliminato - 23454 Punti
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# drynnn : Perché nel punto b ha studiato tutto maggiore uguale a zero?
Quella è una tecnica non consolidata, di più! Nello studio delle disequazioni, una volta fattorizzato il membro sinistro (e a membro destro si ha zero), è bene studiare la positività di tutti i fattori, dunque farne il prodotto dei segni ed infine selezionare gli intervalli che verificano la disequazione di partenza. Faccio un esempio semplice semplice per mostrarti cosa intendo.

[math](x + 1)(2 - x) < 0 \\[/math]

[math]
\begin{aligned}
& x + 1 \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \ge -1 \; \; -\,-\,[-1]\,+\,+\,+\,+\,+ \\
& 2 - x \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le 2 \, \; \; \; \; +\,+\,+\,+\,+\,+\,[2]\,-\,- \\
& ***************************** \\
& /////////////////// \; - \, - \; [-1] \, + \, + \; \; [2] \, - \, -
\end{aligned}\\
[/math]


Dunque selezioniamo gli intervalli negativi, ottenendo:

[math]Soluzione = \left\{ x \in \mathbb{R} : x < -1 \, \vee \, x > 2 \right\} \\[/math]
.

# drynnn : Nl punto c come ha fatto ad ottenere questo
[math]-4*2^{x}-2*2^{x}[/math]
nel primo passaggio?
Trattandosi di un trinomio notevole, si ha

[math]t^2 - 6t + 8 = 1t^2 + at + bt + 8 \\[/math]

con
[math]a + b = -6[/math]
e
[math]a\cdot b = 1 \cdot 8[/math]
da cui
[math]a = -4[/math]
e
[math]b = -2\\[/math]
.
Naturalmente sopra si ha
[math]t = 2^x[/math]
ma ciò non cambia le cose. :)
drynnn
drynnn - Sapiens - 351 Punti
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Ops, l'avevo dimenticato, durante le vacanze le mie conoscenze si dissolvono :D grazie mille ora è tutto chiarissimo!! :hi
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