calimero92
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BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] \frac{2+ \log_2 x}{2 \log_2 x} -3+ \frac{1+3 \log_2 x}{2+ \log_2 x} > 0 [/math]

Il campo di esistenza sara':

a) tutti gli argomenti dei logaritmo >0 (i logaritmi hanno tutti stesso argomento quindi semplicemente x>0)

b) denominatori diversi da 0:

[math] 2 \log_2 x \ne 0 \to \log_2 x \ne 0 \to log_2 x \ne log_2 2^0 \to x \ne 1 [/math]

e

[math] 2 \log_2 x \ne 0 \to \log_2 x \ne -2 \to \log_2 x \ne log_2 2^{-2} \to x \ne \frac14 [/math]

Pertanto il campo di esistenza sara':

[math] \( 0, \frac14 \) \ U \ \( \frac14, 1 \) \ U \ \(1, + \infty \) [/math]

Aggiunto 14 minuti più tardi:

A questo punto puoi procedere con il minimo comune multiplo:

[math] \frac{ \( 2+ \log_2 x \)^2-3 \cdot 2 \log_2 x (2 + \log_2 x)+ (1+ 3 \log_2 x)(2 \log_2 x)}{2 \log_2 x(2+ \log_2 x)} >0[/math]

[math] \frac{4+ 4 \log_2 x + \log_2^2 x-12 \log_2 x- \no{6 \log_2^2 x} + 2 \log_2 x + \no{6 \log_2^2 x}}{2 \log_2 x (2+ \log_2 x)} >0[/math]

[math] \frac{ \log_2^2 x -6 \log_2 x +4}{2 \log_2 x (2+ \log_2 x)} > 0 [/math]

NUMERATORE MAGGIORE DI ZERO:

Va risolta come una semplice disequazione di secondo grado, otterrai

[math] \log_2 x < 3- \sqrt5 \to \log_2 x < \log_2 2^{(3- \sqrt5)} \to x<2^{(3- \sqrt5)} [/math]

[math] U \ x> 2^{(3+ \sqrt5)} [/math]

DENOMNATORE >0:

Primo fattore:
[math] \log_2 x > 0 \to x>1 [/math]

[math] 2+ \log_2 x >0 \to x> \frac14 [/math]

Denominatore > 0 , dunque, per
[math] x< \frac14 \ U \ x> 1 [/math]

Dal momento che
[math] 3 \pm \sqrt5 > 1 [/math]
avremo come soluzione finale:
[math] x < \frac14 \ U 1 < x < 2^{(3- \sqrt5)} \ U \ x>2^{(3+ \sqrt5)} [/math]

che, ricordando il campo di esistenza, sara' limitata a

[math] 0 < x < \frac14 \ U 1 < x < 2^{(3- \sqrt5)} \ U \ x>2^{(3+ \sqrt5)} [/math]

Aggiunto 32 minuti più tardi:

[math] log_3[3(2^{2x}) - 2^x]-log_3 (2^x+1) \ge xlog_3 2 [/math]

L'argomento dei logaritmi anche qui dovra' essere > 0

[math] 3(2^{2x})-2^x >0 \to 2^x(3(2^x-1))>0 [/math]

da cui

[math] 2^x>0 \to \forall x \in \mathbb{R} [/math]

[math] 2^x-1>0 \to 2^x>1 \to 2^x>2^0 \to x>0 [/math]

e

[math] 2^x+1>0 \to 2^x>-1 \to \forall x \in \mathbb{R} [/math]

Applichiamo le proprieta' dei logaritmi

[math] \log_3 \frac{2^x (3(2^x)-1)}{2^x+1}> \log_3 2^x [/math]

e siccome la base del logaritmo > 1

[math] \frac{2^x (3(2^x)-1)}{2^x+1}>2^x [/math]

Semplificando
[math] 2^x [/math]
da ambo i membri
[math] 3(2^x)-1>2^x+1 [/math]

e dunque

[math] 2 (2^x)> 2 \to 2^x>1 \to 2^x>2^0 \to x>0 [/math]
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