QuantumJ
QuantumJ - Erectus - 96 Punti
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Potreste risolvermi per favore queste tre disequazioni? Grazie mille!

[math]-√2 (x-√3)≥√3 (x+√2)-√6[/math]

[math]0,(3)(x-3)≥0,(6)(6-x)[/math]

[math]x^2-9/(x+1)≤0[/math]
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Per la prima basta un po' di calcoli con le radici:

[math]-\sqrt{2}x+\sqrt{6} \ge \sqrt{3} x[/math]

[math]\sqrt{6} \ge x(\sqrt{2}+\sqrt{3} )[/math]

[math]x\le \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{6}(\sqrt{3}-\sqrt{2})[/math]


Per la seconda basta scrivere i numeri decimali in forma razionale:

[math]\frac{1}{3}(x-3) \ge \frac{2}{3}(6-x)[/math]

[math]x-3 \ge 12-2x[/math]

[math]x \ge 5[/math]


La terza, se e` scritta giusta, si puo` risolvere solo in modo grafico (a meno che tu non abbia studiato la formula di risoluzione delle equazioni di terzo grado... mi pare molto strano!).
nRT
nRT - Moderatore - 3244 Punti
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Ciao,
la terza disequazione:

[math]x^2 - \frac{ 9 }{ x + 1 } \leq 0 \\[/math]


ha una soluzione complicata, inusuale per questo genere di esercizi.
Non è che forse si tratta di questa?


[math]\frac{ x^2 - 9 }{ x + 1 } \leq 0 \\[/math]


Se è così, allora hai due modi per poter scrivere la disequazione:

1. LaTeX:

\frac{ x^2 - 9 }{ x + 1 } \leq 0

che si visualizza come segue:

[math]\frac{ x^2 - 9 }{ x + 1 } \leq 0[/math]


2. Parentesi:

[math](x^2 - 9)/(x + 1) \leq 0[/math]


Presta molta attenzione alle parentesi: moltiplicazione e divisione hanno la precedenza su addizione e sottrazione.


Risolvendo la seconda disequazione, la soluzione è semplice e possiamo ottenerla così:


[math]\frac{ ( x + 3 )( x - 3 ) }{ x + 1 } \leq 0 \\[/math]


[math]
x + 3 \ge 0 \\
x - 3 \ge 0 \\
x + 1 > 0 \\
[/math]


Che danno le seguenti:


[math]
x \ge - 3 \\
x \ge 3 \\
x > -1 \\
[/math]


Impostando uno schema per lo studio dei segni si ottiene che:


[math]x \leq -3 \lor -1 < x \leq 3 \\[/math]


Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure :)
Ciao
QuantumJ
QuantumJ - Erectus - 96 Punti
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Grazie ho capito quasi tutto! La prima disequazione mi è poco chiara, potreste farmela con più passaggi per favore? Grazie mille! (Il risultato è
[math]x≤3√2-2√3)[/math]


Aggiunto 9 minuti più tardi:

A me come forma normale della prima disequazione mi esce
[math]x(√2+√3)-√6≤0[/math]
è giusta? Se si,cosa dovrei fare dopo? Riportare la disequazione nella sua equazione associata
[math]x(√2+√3)=√6[/math]
poi divido per(√2+√3) i due membri dell'equazione e razionalizzo?

Aggiunto 12 minuti più tardi:

Okay allora facendo tutti i calcoli mi è uscito tutto ma non ho ben capito il fatto dell'equazione associata (che io non ho mai utilizzato ma la nostra professoressa di quest'anno ci fa usare). Io ho ottenuto
[math]x(√2+√3)≤√6[/math]
dopodiché mi sono fermato e ho lavorato sulla sua equazione associata
[math]x(√2+√3)=√6[/math]

[math]x=√6(√2-√3)[/math]

[math]x=√12-√18[/math]

[math]x=2√3-3√2[/math]

Ecco ora da quest'ultimo passaggio come dovrei comportarmi? Cioè, la soluzione della disequazione è
[math]x≤2√3-3√2[/math]

mi basta quindi ritornare alla forma normale della disequazione ottenuta prima
[math]x(√2+√3)≤√6[/math]
levare tutto e mettere come primo membro la
[math]x[/math]
e come secondo membro
[math]2√3-3√2[/math]
? Non c'è qualche regola da rispettare o comunque un procedimento da seguire invece di "Trascrivere" subito di punto in bianco quello ottenuto nella equazione associata nella disequazione ?
nRT
nRT - Moderatore - 3244 Punti
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Ciao,

per quanto riguarda il passaggio:


[math]
x(\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{6} \\

x=\sqrt{6}(\sqrt{2} − \sqrt{3}) \\
[/math]


La differenza di quadrati scritta in questo modo dà
[math]2 - 3 = -1[/math]
:

[math]
x(\sqrt{2} + \sqrt{3})=\sqrt{6} \\
x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \\
x = \frac{\sqrt{6} (\sqrt{2} - \sqrt{3}) }{2 - 3} \\
x = \sqrt{6} (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \\
[/math]


Una volta arrivati a:


[math]x ( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 3 } ) \leq \sqrt{ 6 } \\[/math]


possiamo continuare con la disequazione. Trasformando la disequazione in un'equazione è rischioso perché c'è da ricordare che dividendo entrambi i membri per un numero negativo, bisogna cambiare il segno della disequazione. Tanto vale lavorare direttamente con la disequazione.

[math]
x \leq \frac{ \sqrt{ 6 } }{ \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 3 } } \\

x \leq \frac{ \sqrt{ 6 } }{ \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 3 } } \cdot \frac{ \sqrt{ 3 } - \sqrt{ 2 } }{ \sqrt{ 3 } - \sqrt{ 2 } } \\

x \leq \frac{ \sqrt{ 2 \cdot 3 } ( \sqrt{ 3 } - \sqrt{ 2 } ) }{3 - 2}\\

x \leq 3 \sqrt{ 2 } - 2 \sqrt{ 3 } \\

[/math]


Spero ti sia stato d'aiuto. Se hai ancora dubbi non esitare a chiedere! :)
Ciao
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Ciao,
nella prima disequazione c'era un errore di segno. Ora e` corretta.
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