Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Salve ragazzi.
Ho una disequazione irrazionale e non so come comportarmi poichè ho la presenza di un valore assoluto nel radicando. Come devo comportarmi?

[math]\sqrt{|x^2-4|-1}+ \sqrt{\frac{-|x-5|}{x^4-1}}\geq 0[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Bella lunga questa disequazione!

Per prima cosa devi considerare che il valore assoluto e' inutile se l'argomento e' positivo (o nullo) mentre opera cambiando il segno dell'argomento, quando esso e' negativo

[math] x^2-4 \ge 0 \to x \le -2 \ U x \ge 2 [/math]

Pertanto nei valori dell'intervallo di sopra, il primo valore assoluto e' inutile, mentre nei valori compresi tra -2 e 2 il valore assoluto interviene cambiando il segno all'argomento (che e' negativo)

Stesso ragionamento per

[math] x-5 \ge 0 \to x \ge 5 [/math]

E dunque, considerando cio' che e' emerso:

Per
[math] x \le -2 [/math]
il primo valore assoluto non opera, mentre il secondo si' e avremo dunque da studiare la disequazione:
[math] \{ x \le -2 \\ \sqrt{x^2-4-1} + \sqrt{ \frac{-(-(x-5))}{x^4-1}} \ge 0 [/math]

Poi da -2 a 2 entrambi gli argomenti sono negativi...
Quindi entrambi i valori assoluti operano

[math] \{ -2<x<2 \\ \sqrt{-(x^2-4)-1} + \sqrt{ \frac{-(-(x-5))}{x^4-1}} \ge 0 [/math]

Da 2 (compreso) a 5 (escluso) ci ritroviamo nella situazione analoga a x <= -2, e dunque, possiamo ripresentare il sistema di sopra con le opportune modifiche:

[math] \{ x \le -2 \ U \ 2 \le x < 5\\ \sqrt{x^2-4-1} + \sqrt{ \frac{-(-(x-5))}{x^4-1}} \ge 0 [/math]

Infine da 5(compreso) in poi, entrambi i valori assoluti non servono dal momento che gli argomenti sono gia' positivi.

[math] \{ x \ge 5 \\ \sqrt{x^2-4-1} + \sqrt{ \frac{-(x-5)}{x^4-1}} \ge 0 [/math]

Pertanto le soluzioni saranno date dalle unioni delle soluzioni dei 3 sistemi di sopra.

Considera questo: tu hai una situazione del tipo

[math] \sqrt{p(x)}+ \sqrt{q(x)} \ge 0 [/math]

E pertanto

[math] \sqrt{p(x)} \ge - \sqrt{q(x)} [/math]

Che come puoi vedere, quando le radici esistono, e' sempre verificata, perche' la radice di un valore e' sempre un valore positivo che sara' pertanto sempre maggiore di un valore sempre negativo (la radice a destra cambiata di segno)

Pertanto in ogni sistema sara' sufficiente discutere i campi di esistenza delle radici e mettere a sistema i risultati con l'intervallo di studio.
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Grazie! Tutto chiaro ( come sempre )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Grazie a te per il "come sempre"

Allora chiudo?
Dario93
Dario93 - Sapiens Sapiens - 1330 Punti
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Sì, e grazie ancora :hi
Alla prossima.
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