Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Risolvere la seguente disequazione

[math] |\sin{z}|>1\\\\ z\in\mathbb{C}\\\\z=x+iy\\ x,y \in \mathbb{R} [/math]
ovviamente intendendo il MODULO del seno di z.

Il seno di z in forma algebrica è
[math]\sin{z}=\frac{\sin{x}(e^{-y}+e^y)+i\cos{x}(e^y-e^{-y})}{2}[/math]

Il risultato mi viene
[math]\cos{x}>\frac{sqrt{4-e^{-2y}-e^{2y}}}{e^y-e^{-y}}[/math]

Per favore, potreste controllare se è giusto?

Aggiunto 13 ore 43 minuti più tardi:

certo che se ci fosse un modo per eliminare anche quel coseno...scoprire una relazione tra x e y sarebbe l'ideale
ciampax
ciampax - Tutor - 29182 Punti
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Vediamo: dal momento che

[math]\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}[/math]

allora

[math]\left|sin z\right|=\left|\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right|=\\
\sqrt{\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\cdot\frac{e^{-i\bar{z}}-e^{i\bar{z}}}{-2i}}=
\sqrt{\frac{e^{i(z-\bar{z})}-e^{i(z+\bar{z})}-e^{-i(z+\bar{z})}+e^{-i(z-\bar{z})}}{4}}[/math]

da cui, se
[math]z=x+iy[/math]
, essendo
[math]z+\bar{z}=2x,\ z-\bar{z}=2iy[/math]

[math]\left|\sin z\right|=\frac{1}{2}\sqrt{e^{-2y}-e^{2ix}-e^{-2ix}+e^{2y}}=
\frac{1}{2}\sqrt{e^{2y}+e^{-2y}-2\cos(2x)}[/math]

Dal momento che l'argomento della radice deve risultare non negativo e, contemporaneamente, deve essere verificata la disequazione, avrai il seguente sistema

[math]\left\{\begin{array}{l}
e^{2y}+e^{-2y}-2\cos(2x)\geq 0\\
e^{2y}+e^{-2y}-2\cos(2x)>4
\end{array}\right.[/math]

che si riduce alla sola disequazione

[math]e^{2y}+e^{-2y}-2\cos(2x)>4.[/math]

Effettivamente non puoi semplificare quel coseno in alcun modo: tuttavia, puoi fare uso delle funzioni iperboliche per scrivere che

[math]2\cosh(2y)-2\cos(2x)>4[/math]

e quindi

[math]\cosh(2y)-\cos(2x)>2[/math]

Questa è la relazione "migliore" che puoi scrivere. Per determinare quando è risolvibile, potresti usare qualche metodo di calcolo di massimi eminimi per funzioni di più variabili, ma non ho idea se conosci questa roba.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Professore, ma il modo in cui l'avevo fatto io e il risultato che avevo trovato allora non è giusto?

Aggiunto 1 minuti più tardi:

Ripeto quello che ho trovato
[math]\cos{x}>\frac{sqrt{4-e^{-2y}-e^{2y}}}{e^y-e^{-y}}[/math]
Devo sapere se è giusto per avere idea se posso andare avanti col programma o se devo ancora insistere su queste cose. Dopo mi aspettano i polinomi in C e le equazioni la vedo dura
ciampax
ciampax - Tutor - 29182 Punti
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Se risolvi la disequazione

[math]e^{2y}+e^{-2y}-2\cos(2x)>4[/math]

ottieni, ricordando che
[math]\cos(2x)=2\cos^2 x-1[/math]

[math]e^{2y}+e^{-2y}-4\cos^2 x+2-4>0[/math]

da cui

[math]4\cos^2 x+2-e^{2y}-e^{-2y}<0[/math]

Posto
[math]t=\cos x[/math]
ottieni
[math]4t^2+2-e^{2y}-e^{-2y}<0[/math]

Ora, tale equazione ammette soluzione se e solo se

[math]2-e^{2y}-e^{-2y}\leq 0[/math]

per cui se e solo se

[math]e^{4y}-2 e^{2y}+1\geq 0\quad\Rightarrow\quad (e^{2y}-1)^2\geq 0[/math]

e quindi per ogni valore della
[math]y[/math]
.
Allora la disequazione originale ti dà

[math]-\frac{1}{2}\sqrt{2-e^{2y}-e^{-2y}}<\cos x<\frac{1}{2}\sqrt{2-e^{2y}-e^{-2y}}[/math]
.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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Ok allora ci riprovo

Aggiunto 44 minuti più tardi:

I componenti sotto radice mi vengono col segno opposto...in pratica dopo aver trovato la disequazione
[math]e^{-2y}+e^{2y}-4\cos^2{x}+2>4[/math]
me la sono risolta direttamente ottenendo
[math]-4\cos^2x>2-e^{-2y}-e^{2y}[/math]
. Dividendo per -4, cambiano i segni e il verso della diseguaglianza, quindi in effetti otterrei...
[math]\cos^2x<\frac{-2+e^{2y}+e^{-2y}}{4}[/math]
e quindi
[math]-\frac{\sqrt{-2+e^{2y}+e^{2y}}}{2}<\cos{x}<\frac{\sqrt{-2+e^{2y}+e^{-2y}}}{2}[/math]

Dove ho sbagliato?

Aggiunto 11 secondi più tardi:

?

Aggiunto 1 ore 3 minuti più tardi:

Ci siete?
ciampax
ciampax - Tutor - 29182 Punti
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Ops, i segni gli ho sbagliati io! Sorry.
Newton_1372
Newton_1372 - Genius - 2097 Punti
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FIUUUUUUUUUUUUUUUU!!!!! Evviva! Passo ai polinomi!!!!! GRAZIEEEEEEEEE CIAMPAX!!!!!!!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29182 Punti
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Prego. Chiudo.
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