happykiller95
happykiller95 - Erectus - 64 Punti
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Aiuto, non so come risolvere questa disequazione:

http://imageshack.us/photo/my-images/338/dism.jpg/

Per piacere aiutatemi, il mio professore non sa spiegare e martedì ci fa fare il compito. se potete, risolvendolo, spiegatemi perchè fate i vari passaggi. grazie

Aggiunto 12 ore 29 minuti più tardi:

Tutto chiarissimo, una sola cosa, perché la disequazione irrazionale si risolve cosí, cioé puoi spiegarmi il procedimento teorico
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa devi considerare quando il valore assoluto e' inutile (argomento > o = a 0) o quando opera (argomento < 0)

Il valore assoluto opera su argomenti negativi, cambiando di segno l'argomento.

quindi

[math] \frac{2x+1}{x} \ge 0 [/math]

studiamo questa disequazione:

[math] N \ge 0 \to x \ge - \frac12 \\ \\ \\ D>0 \to x>0 [/math]

e quindi

[math] x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]

pertanto la disequazione dell'esercizio corrisponde all'unione delle soluzioni dei seguenti sistemi:

[math] \{ \frac{1-x+ \sqrt{x^2+x+2}}{3- \frac{2x+1}{x}} \ge 0 \\ x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]
[math] \cup \{ \frac{1-x+ \sqrt{x^2+x+2}}{3- \(- \frac{2x+1}{x} \)} \\ - \frac12 < x < 0 [/math]

Notiamo che in entrambi i sistemi, abbiamo al numeratore una radice. Quindi studiamo il campo di esistenza comune a tutte due i sistemi

[math] x^2+x+2 \ge 0 [/math]
che, avendo delta negativo, e' sempre verificata
Iniziamo dal primo sistema:

[math] N \ge 0 \to 1-x + \sqrt{x^2+x+2} \ge 0 \to \sqrt{x^2+x+2} \ge x-1 [/math]

E' una disequazione irrazionale che si risolve con i due sistemi

[math] \{x-1<0 \\ x^2+x+2 \ge 0 [/math]
[math] \cup \{ x-1 \ge 0 \\ x^2+x+2>(x-1)^2 [/math]

Il primo sistema:

[math] \{x<1 \\ \forall x \in \mathbb{R} [/math]
[math] \to x<1 [/math]

il secondo sistema

[math] \{ x \ge 1 \\ x^2+x+2>x^2-2x+1 [/math]

E quindi

[math] \{x \ge 1 \\ 3x>- 1 [/math]

ovvero

[math] \{x \ge 1 \\ x>- \frac13 [/math]

quindi soluzione del secondo sistema

[math] x \ge 1 [/math]

pertanto la soluzione sara'
[math] x<1 \cup x \ge 1 [/math]

quindi il numeratore e' sempre positivo (ricordalo perche' il numeratore del secondo sistema e' identico)

[math] D>0 \to 3- \frac{2x+1}{x} >0 [/math]

quindi

[math] \frac{3x-2x-1}{x} > 0 [/math]

quindi

N>0 x-1>0 ovvero x>1
D>0 x>0

soluzione x<0 U x>1

Siccome il Numeratore e' sempre positivo, x<0 U x>1 e' anche l'intervallo in cui la frazione e' positiva e quindi la soluzione del primo sistema.

Secondo sistema.

[math] N \ge 0 [/math]
Il numeratore e' uguale a quello di prima, quindi sempre positivo
[math] D>0 \to 3+ \frac{2x+1}{x} > 0 \to \frac{3x+2x+1}{x} > 0 \to \frac{5x+1}{x} > 0 [/math]

studiamo la frazione

[math] N>0 \to x>- \frac15 \\ \\ \\ \\ D>0 \to x>0 [/math]

soluzione sara' x<-1/5 U x>0

La frazione complessiva, Numeratore sempre positivo, denominatore x<-1/5 U x>0 , soluzione del sistema x<-1/5 U x>0

pertanto alla fine i sistemi iniziali saranno

[math] \{x<0 \cup x>1 \\ x \le - \frac12 \cup x>0 [/math]
[math] \cup \{x<- \frac15 \cup x>0 \\ - \frac12 < x < 0 [/math]

ovvero

[math] x \le - \frac12 \cup x>1 \cup -\frac12 < x < - \frac15 [/math]

e l'unione delle soluzioni sara'

[math] x < - \frac15 \cup x>1 [/math]

spero che i conti siano corretti, il procedimento da seguire e' questo

Aggiunto 13 ore 7 minuti più tardi:

Quando hai

[math] \sqrt{p(x)} > q(x) [/math]

il ragionamento da fare e':

se q(x)<0 ... beh, la radice di p(x) e' sempre positiva (quando esiste) quindi la disequazione e' sempre verificata (se appunto la radice esiste e quindi se p(x)>= 0 )

se invece q(x)>0 allora elevo al quadrato ambo i membri. (non posso elevare al quadrato ambo i membri a priori, perche' rischierei che se q(x) e' negativo al quadrato diventa positivo e ho delle soluzioni non corrette)

questo si traduce in

[math] \{q(x)<0 \\ p(x) \ge 0 [/math]
[math] \cup \{q(x) \ge 0 \\ p(x)>q^2(x) [/math]

quando hai invece

[math] \sqrt{p(x)} < q(x) [/math]

allora devi ragionare cosi'..

Siccome la radice di p(x) (quando esiste) restituisce un valore positivo, per essere minore di q(x) dovra' essere q(x)>0. infatti se q(x) e' negativo, la disequazione non sara' mai verificata (la radice dovrebbe dare un valore < di una quantita' negativa)

una volta posto che q(x) sia > 0 e che la radice esiste, allora elevi al quadrato

Quindi risolvi con:

[math] \{q(x) \ge 0 \\ p(x) \ge 0 \\ p(x)<q^2(x) [/math]
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