alexsandrino1989
alexsandrino1989 - Erectus - 91 Punti
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ciao a tutti qualcuno puo aiutarmi a risolvere passo x passo questa disequazione?grazie in anticipo..!

[math]\frac{|x+2|}{x-3}< 2 [/math]

.

Questa risposta è stata cambiata da BIT5 (14-01-10 11:00, 6 anni 11 mesi 2 giorni )
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math]\frac{|x+2|}{x-3}< 2 [/math]

Considera questo:

il valore assoluto rende positivo l'argomento nel caso questo sia negativo, mentre "non opera" (e pertanto e' inutile) se l'argomento e' positivo o nullo.

Ogni volta che ti capita quindi un'espressione/equazione con uno o piu' valori assoluti, devi sempre fare questo ragionamento:

guardi quando l'argomento e' positivo o nullo:

[math] x+2 \ge 0 \to x \ge -2 [/math]

E consideri i due casi (in questo esercizio, ma potrebbero essere di piu' se i valori assoluti fossero piu' di uno)

"quando
[math] x \ge -2 [/math]
il valore assoluto non serve, pertanto risolvo la disequazione senza il valore assoluto
Quando invece
[math] x<-2 [/math]
il valore assoluto opera, facendo diventare l'argomento (che e' negativo) positivo (ovvero ne cambia il segno)"
Questo vuol dire risolvere:

[math] \{ x \ge -2 \\ \frac{x+2}{x-3}< 2 [/math]
[math] U \ \ \{ x<-2 \\ \frac{-(x+2)}{x-3}< 2 [/math]

Iniziamo dal primo sistema:

[math] \{ x \ge -2 \\ \frac{x+2}{x-3}< 2 [/math]

[math] \{ x \ge -2 \\ \frac{x+2-2(x-3)}{x-3}< 0 [/math]

[math] \{ x \ge -2 \\ \frac{-x+8}{x-3}< 0 [/math]

E dunque la disequazione fratta sara'

[math] N>0 : \ \ -x+8>0 \to x<8 [/math]

[math] D>0: \ \ x-3>0 \to x>3 [/math]

E quindi, dal grafico dei segni,
[math] x<3 \ U \ x>8 [/math]

Ma siamo all'interno di un sistema, che impone
[math] x \ge -2 [/math]

E quindi la soluzione del sistema sara' (fai il grafico e prendi solo gli intervalli dove esistono entrambe le "righe" )

[math] -2 \le x < 3 \ U \ x>8 [/math]

SECONDO SISTEMA:

[math] \{ x<-2 \\ \frac{-(x+2)}{x-3}< 2 [/math]

[math] \{ x<-2 \\ \frac{-x-2-2(x-3)}{x-3}< 0 [/math]

[math] \{ x<-2 \\ \frac{-3x+4}{x-3}< 0 [/math]

Quindi la disequazione:

[math] N>0: \ \ -3x+4>0 \to x< \frac43 [/math]

[math] D>0: \ \ x-3>0 \to x>3 [/math]

Studi i segni e prendi i valori negativi (la disequazione e'<0 )

[math] x< \frac43 \ U \ x > 3 [/math]

Ma consideravamo solo i valori x<-2, pertanto fai il grafico del sistema e prendi l'intervallo che esiste contemporaneamente su entrambe le linee.

Dunque avrai
[math] x<-2 [/math]

(il che significa che nell'intervallo in cui il valore assoluto opera, la disequazione e' sempre verificata...)

Siccome la soluzione finale e' l'unione delle soluzioni dei due sistemi, allora:

[math] -2 \le x < 3 \ U \ x>8 \ U \ x<-2 [/math]

E dunque

[math] x<3 \ U x>8 [/math]

(perche' fino a -2 esiste per il secondo sistema e da -2 (compreso) a 3 esiste il primo..)

Aggiunto 10 minuti più tardi:

Ti aggiungo un esercizio piu' complesso (solo impostandotelo) per farti capire come comportarti in caso di presenza di piu' valori assoluti:

[math] \frac{ |x+1|-|x-3|}{|x-2|}>0 [/math]

Qui hai 3 valori assoluti.

Il primo non serve per
[math] x+1 \ge 0 \to x \ge -1 [/math]

il secondo per
[math] x-3 \ge0 \to x \ge 3 [/math]

Il terzo per
[math] x-2>0 \to x>2 [/math]

(nel terzo ho escluso l'uguale perche' e' un denominatore e non dovra' mai essere =0)

quindi ti fai il grafico e noti che:

prima di -1 i valori assoluti operano tutti e 3 (quindi cambiano di segno)

da -1 (compreso) a 2 (escluso) non opera solo il primo (cioe' il primo e' inutile)

da 2 (compreso) a 3 (escluso) sono inutili il primo valore assoluto e il valore assoluto al denominatore

da 3 (compreso) in poi, tutti e tre i valori assoluti non servono.

quindi, in termini matematici, l'esercizio andrebbe impostato cosi'

[math] \{ x \ge 3 \\ \frac{ x+1-(x-3)}{x-2}>0 [/math]

[math] U [/math]

[math] \{ 2 < x < 3 \\ \frac{ x+1-(-(x-3)}{x-2}>0 [/math]

[math] U [/math]

[math] \{ -1 \le x < 2 \\ \frac{ x+1-(-(x-3))}{-(x-2)}>0 [/math]

[math] U [/math]

[math] \{ x<-1 \\ \frac{ -(x+1)-(-(x-3))}{-(x-2)}>0 [/math]

Quindi andrebbero risolti i 4 sistemi e unite le soluzioni..

Spero di averti chiarito le idee
alexsandrino1989
alexsandrino1989 - Erectus - 91 Punti
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si si ora e tutto piu chiaro grazie mille!
ma nel caso in cui era tutta la divisione nel modulo
[math]\frac{x+2}{x-3}< 0 [/math]
nn esistevano soluzione in quanto non puo mai essere minore di zero e se era maggiore di zero la soluzione e sempre verificata eccetto qnd si annulla giusto?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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esatto!

Infatti, se non fossi riuscito a VEDERLO ad occhio, risolvendo come ti ho detto io sopra (ovvero cambiando i segni quando l'argomento e' negativo, ecc ecc) ti sarebbero venuti due sistemi senza soluzioni (nel caso di <0) o due sistemi la cui unione ti avrebbe dato tutto R (in caso di >0) escluo x=-2, dove si annulla..

Posso chiudere?
alexsandrino1989
alexsandrino1989 - Erectus - 91 Punti
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si si grazie ancora..!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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perfetto.
chiudo
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