QuantumJ
QuantumJ - Erectus - 96 Punti
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Aiuto per favore, non so risolvere le disequazioni con i valori assoluti...
potete aiutarmi con questa?

|x^2-5x+6| minoreuguale 1
nRT
nRT - Moderatore - 3244 Punti
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Ciao,
sì, esatto.
Risolvere un sistema significa trovare l'intersezione delle soluzioni.

Le soluzioni di ciascun sistema vanno poi unite tra di loro.

Quindi, se le soluzioni delle disequazioni sono:


[math]
\begin{cases}
A \\
B \\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
C \\
D \\
\end{cases}
\\
[/math]


La soluzione della disequazione con il valore assoluto è:


[math](A \land B) \lor (C \land D) \\[/math]


Nel nostro caso:
SISTEMA 1


[math]
\begin{cases}
x^2 − 5x + 6 \ge 0 \\
x^2 − 5x + 6 \le 1 \\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
(x - 3)(x - 2) \ge 0 \\
x^2 - 5x + 5 \le 0 \\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
x \le 2 \lor x \ge 3 \\
\frac{1}{2}(5- \sqrt{5}) \le x \le \frac{1}{2}(5+ \sqrt{5}) \\
\end{cases}
\\
\frac{1}{2}(5- \sqrt{5}) \le x \le 2 \lor 3 \le x \le \frac{1}{2}(5+ \sqrt{5}) \\
\\
[/math]


SISTEMA 2


[math]
\begin{cases}
x^2 − 5x + 6 < 0 \\
-x^2 + 5x - 6 \le 1 \\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
(x - 3)(x - 2) < 0 \\
x^2 − 5x + 7 \ge 0 \\
\end{cases}
\\
\begin{cases}
2 < x < 3 \\
\forall x \in \mathbb{R} \\
\end{cases}
\\
2 < x < 3 \\
[/math]


Uniamo le soluzioni trovate:


[math]
\frac{1}{2}(5- \sqrt{5}) \le x \le 2 \lor 3 \le x \le \frac{1}{2}(5+ \sqrt{5}) \lor 2 < x < 3 \\
\frac{1}{2}(5- \sqrt{5}) \le x \le \frac{1}{2}(5+ \sqrt{5})
[/math]


In pratica:
impostiamo due sistemi di disequazioni nel seguente modo:

SISTEMA 1
- condizione per valore assoluto maggiore o uguale 0
- disequazione scritta senza il valore assoluto, mantenendo tutti i segni.

che significa: quando il valore assoluto è maggiore o uguale a 0, allora le soluzioni della disequazione sono le seguenti (ecco perché si fa l'intersezione).

SISTEMA 2
- condizione per valore assoluto minore 0
- disequazione scritta senza il valore assoluto, cambiando il segno all'intero polinomio all'interno del valore assoluto.

che significa: quando il valore assoluto è minore di 0, allora le soluzioni della disequazione sono le seguenti (ecco perché si fa l'intersezione).

Poi uniamo le soluzioni, cioè troviamo le soluzioni della disequazione con il valore assoluto sia quando il polinomio all'interno del valore assoluto assume valori non negativi sia quando assume valori negativi.

Spero ti sia stato d'aiuto. Se qualcosa non è chiaro chiedi pure. :)
Ciao
nRT
nRT - Moderatore - 3244 Punti
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Ciao,
il valore assoluto funziona così:

se
[math]ax+b \ge 0 \rightarrow |ax+b|+c=ax+b+c[/math]

se
[math]ax+b < 0 \rightarrow |ax+b|+c=-ax-b+c \\[/math]


Nel nostro caso, risolviamo i due sistemi:


[math]
\begin{cases}
x^2-5x+6 \ge 0 \\
x^2-5x+6 \le 1 \\
\end{cases}
[/math]


e


[math]
\begin{cases}
x^2-5x+6 < 0 \\
-x^2+5x-6 \le 1 \\
\end{cases}
[/math]


Tutto qui. Spero ti sia stato d'aiuto. Se incontri difficoltà, posa pure i dubbi che ti diamo una mano :)
Ciao
QuantumJ
QuantumJ - Erectus - 96 Punti
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Ok grazie.. potresti svolgermi per favore l'esercizio completo? Ti ringrazio davvero molto!

Aggiunto 3 ore 35 minuti più tardi:

Mi blocco soprattutto al grafico...
ma cosa devo fare? L'intersezione del primo sistema e l'intersezione del secondo sistema e poi unisco?
QuantumJ
QuantumJ - Erectus - 96 Punti
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Grazie mille!!
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