Devil Knight
Devil Knight - Erectus - 104 Punti
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x|x|-(2x+3)<(x+2)|x+2|

spero possiate aiuarmi ^^
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dunque:

il valore assoluto e' un operatore che:

nel caso l'argomento sia positivo (nullo), non opera;

nel caso in cui l'argomento sia negativo, ne cambia il segno:

Quindi nel caso della disequazione

[math] x|x|-(2x+3)<(x+2)|x+2| [/math]

bisogna considerare i casi in cui il valore assoluto non opera e quelli in cui interviene.

Gli argomenti del valore assoluto sono:

x e x+2

E quindi il primo valore assoluto opera per tutti gli x<0, mentre il secondo per tutti gli x+2<0 ==> x<-2

E pertanto, facendoti il grafico, dovrai valutare 3 casi:

quando x>=0 il valore assoluto non opera in nessuno dei due casi presenti e pertanto la disequazione sara':

[math]x(x)-(2x+3)<(x+2)(x+2) [/math]

[math]x^2-2x-3<x^2+4x+4 \to -6x-7<0 \to -6x<7 \to x>- \frac76[/math]

Ma dal momento che stavamo considerando solo i valori per x>0 l'insieme parziale delle soluzioni di questo caso sara'
[math]x \ge 0 [/math]

(dal momento che devono essere verificate entrambe le condizioni il concetto in termini matematici si esprime con il sistema:

[math] \{x \ge 0 \\ x(x)-(2x+3)<(x+2)(x+2) [/math]

II) nell'intervallo
[math] -2 \le x < 0 [/math]
opera solo il primo valore assoluto..
Quindi

[math] \{ -2 \le x < 0 \\ x(-x)-2x-3<(x+2)(x+2) [/math]

Risolviamo la disequazione:

[math] -x^2-2x-3<x^2+4x+4 \to -2x^2 -6x-7 <0 \to 2x^2+6x+7>0 [/math]

questa diseguazione si risolve attraverso l'equazione associata

[math] 2x^2+6x+7=0 [/math]

Usiamo la formula ridotta (ma con quella intera e' la stessa)
[math] x_{1,2}= \frac{ 3 \pm \sqrt{9-14}}{-2} [/math]

che ha Delta negativo e pertanto, essendo la disequazione
[math] 2x^2+6x+7>0 [/math]
(ovvero con il coefficiente del termine di secondo grado positivo e maggiore di zero) e' sempre verificata.
Pertanto tutto l'intervallo di studio
[math] -2 \le x < 0 [/math]
e' soluzione
III)
[math] \{ x<-2 \\ x(-x)-2x-3<(x+2)(-(x+2)) [/math]

risolviamo la disequazione

[math] -x^2-2x-3<-(x^2+4x+4) \to -x^2-2x-3<-x^2-4x-4 [/math]

[math] \to 2x+1<0 \to x< - \frac12 [/math]

E pertanto la soluzione del sistema sara'
[math] x<-2 [/math]

Ora unisci le tre soluzioni trovate ed hai la soluzione della disequazione, che e' tutto R
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