AvrilBoi
AvrilBoi - Sapiens - 420 Punti
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(semplifico le tracce postando le cose che ho già calcolato e tralasciando solo la discussione, che non so fare... vorrei capire come si procede...)



Data l'equazione della circonferenza
(x+3)^2 + y^2 = 25
i punti A ( 1; 3 ) e C ( 0; -4 ) appartenenti alla circonferenza, determinare sul maggiore dei due archi AC un punto P tale che la somma delle sue coordinate sia uguale a k.

Risultati:
una soluzione per -4 < k < 4
due soluzioni per 4 <= k <= 5radice(2) - 3 v -5radice(2) - 3 <= k <= -4




(y+2)^2 + x^2 = 4
A (4,0)
B (0,-4)
individua sull'arco OB i cui punti hanno ascissa positiva o nulla, un punto P tale che sia
AP^2 - OP^2 = (OB^2)/4
Risultati
due soluzioni per 0<=k<=4


x^2+y^2=9
B(0,3)
A(3,0)
Individua un punto P sull'arco AB (credo l'arco minore), tale che sia
PA^2+PB^2=kAB^2
Quindi (3-x)^2 + y^2 + x^2 + (3-y)^2 = 18 k
Risultati
due soluzioni per (2-radice(2))/2 <= k <= 1/2



x^2+y^2=4
y=(-1/2x)^2+2
Vertica parabola appartiene alla circonferenza.
Tracciata una retta parallela all'asse delle x, essa incontra la circonferenza in A e B e la parabola in C e D.
Determina la sua equazione in modo che sia AB^2=kCD^2
risultati: due soluzioni per 1<=k<=2
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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Consideriamo tutti e soli i punti del piano la cui somma delle coordinate vale k cioè:

x+y=k

poi intersechi con l'equazione della circonferenza:

(x+3)^2 + (k-x)^2=25
ovvero
2x^2+2x(3-k)-16+k^2=0
risolvi rispetto ad x e ti calcoli per quali valori di k si hanno soluzioni

Viene fuori: -3-5 radice(2) =< k =< -3+5 radice(2).

E' all'interno di questo intervallo che si hanno punti sulla circonferenza la cui somma delle coordinate vale k.

Però occorre considerare solo i punti sull'arco più lungo quindi devo escludere alcuni punti.

Le rette del fascio che passano anche per l'arco più corto si trovano imponendo il passaggio per i due punti A e C:
per il punto A
1+3=k => k<4
per il punto C
0-4=k => k>-4

Un disegno e si vede subito.

Allora in definitiva per -4< k <4 si ha una sola soluzione.
Per -3-5 radice(2) =< k <-4 oppure per 4< k =< -3+5 radice(2) si hanno due soluzioni.

Mò me leggo gli altri :p
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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3° ex

metti a sistema
x^2+y^2=9
con
(3-x)^2 + y^2 + x^2 + (3-y)^2 = 18 k

osserva che i due termini centrali nella seconda equazione sono come quelli della prima quindi la somma fa 9. Allora abbiamo il sistema equivalente:

x^2+y^2=9
(3-x)^2 + (3-y)^2 = 18 k - 9

nb  la seconda equazione rappresenta l'equazione di un cerchio di raggio radice di 18k-9 e centro nel punto C di coordinate (3,3).

Adesso sarebbe bene farsi un disegno.

Affinché abbia senso la 2-da equazione deve essere radice di 18k-9 positiva: è sufficiente imporre per quali valori di k esiste viene fuori che deve essere k>=1/2

Ora se ti fai il disegno vedrai che si hanno due intersezioni con l'arco minore se e solo se il raggio del cerchio con parametro k è compreso tra OC-3 e 3, dove OC =3* radice(2) è la distanza dell'origine dal centro del cerchio con parametro k.

Se imposti la disequazione diventa: OC-3 < radice(18k-9) <3  => 2-radice(2) < k < 1.
A me non viene diviso 2.
nb 2-radice(2)>1/2 anche se di poco

Aspè che mò me vedo meglio pure l'ultimo ex :D
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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Prova da solo il 2° esercizio tanto è sulla falsa riga degli altri.

per l'ultimo idem. Cioè scriverai il fascio di rette parallele all'asse x : y=t l'intersechi con la circonferenza e ti verranno fuori le coordinate del punto A=(x, y)= (x(t), t) la stessa cosa per B.

Ripeti il ragionamento per la parabola e ti troverai gli altri due punti.

nb la seconda coordinata di tutti e quattro i punti è t!

Adesso scrivi l'equazione AB^2=kCD^2 usando le coordinate in t che hai trovato. Risolvi rispetto a t e ti trovi per quali valori di k ha senso l'equazione.

E dopo un bel :beer per la faticaccia!

ciao

se devo farti i calcoli esplicitamente anche per gli atri due scrivilo qui.

Guarda che sei sulla buona strada nel processo solutivo, nel senso che le soluzioni sono ben impostate poi si tratta di articolare il discorso aiutandosi con un disegno.
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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ti metto la soluzione dell'ultimo. Allora l'equazione della parabola che ho considerato è

y=(-1/2)x^2+2
ho pensato ad una parentesi messa male perché altrimenti cerchio e parabola s'incontrano solo in un punto e nessuna y=t interseca tutte e due le curve simultaneamente.

intersecando il cerchio col fascio y=t => x^2+t^2=4 => x=+- radice(4-t^2) => che ha senso per t appartenente all'intervalo chiuso [-2, 2]

A=(- radice(4-t^2), t)
B=( radice(4-t^2), t)

da cui AB^2=4(4-t^2)


Idem per la parabola e viene che ha senso per t <=2
C=(- radice(4-2t), t)
D=( radice(4-2t), t)

da cui CD^2=8(2-t)

Adesso

AB^2=kCD^2   =>   4(4-t^2)=8k(2-t)   =>   k=(2+t)/2   =>   considerando che ha senso solo per -2<= t <=2 sostituendo i valori estremi di t   =>   0<= k<=2.

ciao:beer
AvrilBoi
AvrilBoi - Sapiens - 420 Punti
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grazie
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