miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Sto studiando il teorema degli zeri e vorrei cercare di capire la dimostrazione. L ho trovata su diversi siti, ma c è sempre qualcosa che non mi convince. Qualcuno potrebbe spiegarmela in maniera chiara??
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Allora il teorema afferma che:

Sia
[math]f(x): \ [a,b]\rightarrow\mathbb{R}[/math]
continua.
Sia inoltre
[math]f(a)\cdot f(b)<0[/math]
.

Allora
[math]\exists \ c\in [a,b] \ t.c. \ f(c)=0[/math]

Ovvero se la funzione rispetta le 2 ipotesi allora ammette almeno uno zero appartenente all'intervallo chiuso in cui è definita continua (un punto in cui la funzione si annulla).

Una dimostrazione (o meglio una spiegazione) anche se non proprio rigorosa è questa:

La funzione è continua nell'intervallo, dunque la funzione ha in ogni punto dell'intervallo [a,b] un valore (la puoi disegnare senza staccare la matita dal foglio in quell'intervallo).

Ora, la seconda condizione ti dice che il prodotto tra i 2 valori della funzione in a ed in b è negativo. Il prodotto di due numeri è negativo se e solo se uno dei due numeri è positivo e l'altro è negativo.
Tradotto in termini grafici significa che la funzione nel punto a si trova sotto l'asse x e nel punto b si trova sopra l'asse x (o viceversa).

Questo significa che quando vai a tracciarla nell'intervallo [a,b] per passare dal punto corrispondente al valore della funzione in a al punto corrispondente al valore della funzione in b non puoi fare a meno di toccare (almeno una volta) l'asse x.

Se tocchi l'asse x in uno o più punti quei punti saranno zeri della funzione (cioè lì la funzione si annulla) f(x)=0.

Spero di essere stato chiaro.
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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beh si però mi servirebbe una spiegazione più tecnica in quanto potrebbero chiedermela all orale di analisi e credo che difficilmente acetterebbero una spiegazione così ( per quanto tu non abbia detto nulla di sbagliato ovviamente). Pensate che potrebbe andare bene se dimostrato con il metodo di dicotomia?? o non è sufficiente??
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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ah ma sei all'uni? allora la dimostrazione topologica su wikipedia è abbastanza comprensibile..pensavo fossi al liceo..
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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si ma l ho capita però volevo una spiegazione un po più semplice qui perkè c è qualcosa che non mi è chiaro.
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Allora ti spiego un po' cercando di semplificare quello che dice wikipedia.

Supponiamo per assurdo che la funzone sia sempre diversa da 0 nell'intervallo
[math][a,b][/math]
e costruiamo l'insieme dei valori di x appartenenti ad
[math][a,b][/math]
tali che
[math]f(x)<0[/math]
. Per ipotesi l'insieme non è vuoto perchè contiene sicuramente o
[math]a[/math]
o
[math]b[/math]
.
Per un teorema sai che ogni insieme non vuoto ammette estremo superiore.
Quindi l'insieme prima definito lo ammette e chiamando
[math]E [/math]
quell'insieme avremo che esisterà
[math]x_0=\sup(E)[/math]
.
Ora
[math]f(x_0)\ne0\Rightarrow f(x_0)>0 \ \dot{\vee} \ f(x_0)<0[/math]
.
Nel primo caso (
[math]f(x_0)<0[/math]
) per l'ipotesi di continuità della funzione hai che esiste sicuramente un intorno destro aperto di
[math]x_0[/math]
in cui la funzione assume valori negativi. Ma questo è in contrasto con la definizione di estremo superiore. Infatti l'estremo superiore di un insieme è un maggiorante di quell'insieme ed ogni elemento strettamente maggiore di esso non appartiene all'insieme. Dunque è impossibile che esista
[math]x_1>x_0 \ t.c. \ x_1\in E[/math]
dunque
[math]f(x_1)>0[/math]
e ciò è un assurdo in quanto per ogni punto appartenente all'estremo destro considerato deve essere che la funzone valutata in quel punto sia minore di 0 (teorema permanenza del segno).
Analogamente nel secondo caso (
[math]f(x_0)>0[/math]
) considera un intorno sinistro aperto di
[math]x_0[/math]
. Per ogni
[math]x_2[/math]
appartenente a tale intorno devi avere (sempre per l'ipotesi di continuità in
[math][a,b][/math]
e dunque per il teorema di permanenza del segno) che la funzione valutata in quel punto sia maggiore di 0. Ma anche questo è un assurdo perchè ogni elemento che appartiene a quell'intorno è minore di
[math]x_0[/math]
e sempre per la definizione di estremo superiore ha che ogni elemento minore dell'estremo superiore di un insieme non è un maggiorante. E se
[math]x_2[/math]
non è un maggiorante di
[math]E[/math]
allora
[math]f(x_2)<0[/math]
.
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