oltreoceano90
oltreoceano90 - Sapiens - 530 Punti
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come faccio a dimostrare che dire che: l'estremo superiore equivale al più piccolo dei maggioranti è uguale a dire che dato un insieme ordinato A di numeri reali, S è l'estremo superiore di A (supA=S) se a<=S per ogni a appartenente ad A e per ogni numero intero positivo ε esiste almeno un elemento a_ε∈A tale che S-ε<a_ε???
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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E' una semplice applicazione delle definizioni.

Sia
[math]A[/math]
un insieme fissato e
[math]M=\{x : x>a, \forall\ a\in A\}[/math]
l'insieme dei maggioranti. Per definizione
[math]s=\sup A[/math]
se e solo se
[math]s\in M[/math]
e per ogni
[math]x\in M[/math]
si ha che
[math]s\leq x[/math]
.

Ora vuoi dimostrare che
[math]s=\sup A[/math]
se e solo se
[math]s>a,\quad \forall\ a\in A[/math]
[math]\forall\ \epsilon>0\ \exists\ a_\epsilon\in A\ :\ s-\epsilon<a_\epsilon[/math]

La prima condizione è ovvia perché se s è l'estremo superiore deve essere più grande di ogni elemento di A per definizione. Poiché s è il più piccolo dei maggioranti, segue che
[math]s-\epsilon<x,\forall\ x\in M[/math]
. ma allora dal lemma di Archimede, fissato un $x\in M$ esiste sempre un
[math]a_\epsilon\in A[/math]
tale che
[math]s-\epsilon<a_\epsilon<x[/math]
.
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