lucyrenzo
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Spero di trovare con voi un modo per procedere con il seguente esercizio. Esso richiede di determinare gli estremi superiore e inferiore della successione:
[math](\sin \frac{n\pi}{2}- \frac{1}{2})(\frac{n-1}{n^2+2})[/math]
Pensavo di procedere con lo studio della monotonia e successivamente, se successione monotona, calcolarmi l-estremo mediante teorema del limite di una sccessione monotona. Tuttavia ho qualche difficolt' con il calcolo del limite.

vi ringrazio per l-aiuto. Sono a vostra totale disposizione. L-importante e' che riesca a capire il procedimento.

un abbraccio
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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dovrebbe esserci ciampax in giro.. cmq non ti torna il limite per n-> +inf? (è l'unico limite possibile..)
edit: gli estrmi dovrebbero essere 0 e 1/4 a occhio e croce.. possibile?
lucyrenzo
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Praticamente ho problemi nel calcolarmi il limite per la prima differenza, nel caso del seno. Ovviamente non per la frazione (n-1)/(n^2+2) -> 0.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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il seno varia tra 0 e 1 in modulo. per n che va a infinito, il termine sen(n*pg/2)*(n-1/n^2-2) va a 0 perchè va a 0 il secondo fattore
ciampax
ciampax - Tutor - 29183 Punti
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Il limite è semplice: poiché la funzione seno è limitata (varia tra -1 e 1) mentre il limite della frazione tende a zero (poiché si riduce a 1/n), ne segue che la tua successione converge a 0. Inoltre, per n=0 ottieni il valore 1/4.

Osserva poi che la prima parentesi assume solo i seguenti valori

[math]\left\{\begin{array}{lcl}
-1/2 & & n=2k\\
(-1)^k-1/2 & & n=2k+1
\end{array}\right.[/math]

a causa dell'andamento della funzione seno. Cosa accade invece alla frazione? Puo vedere il suo andamento studiando la monotonia della funzione

[math]f(x)=\frac{x-1}{x^2+2}[/math]

per le sole x positive. Poiché

[math]f'(x)=-{\frac {{x}^{2}-2-2\,x}{ \left( {x}^{2}+2 \right) ^{2}}}[/math]

vedi immediatamente che il suo unico punto critico (che risulta un massimo) sulle x positive è
[math]x=1+\sqrt{3}\approx 2,7[/math]
. Ne segue che per i valori di n maggiori o uguali a 3 la successione decresce al limite 0, per n=0, 1, 2, 3 hai i valori
[math]1/4\qquad 0\qquad -1/12\qquad -3/11[/math]

e tutti gli altri valori saranno minori di questi in modulo. Ne puoi concludere che, essendo 1/4 e -3/11 il massimo e minimo valore raggiunto dalla successione, essa è limitata tra questi due estremi!
lucyrenzo
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Sono proprio tonta!!! Avete entrambi ragione per il limite...uff..:cry scusatemi. Ti ringrazio ciampax. Beh, risoluzione " immediata". Stiamo iniziando ora a studiare la successione attraverso le derivate. Dapprima risolvevamo soltanto attraverso criterio rapporto e teorema sui limiti di successioni monotone. Grazie infinite.

un abbraccio ad entrambi.
ciampax
ciampax - Tutor - 29183 Punti
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