Tolaz92
Tolaz92 - Erectus - 83 Punti
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Determinare l'equazione della parabola y=ax^2+bx+c passante per il punto A(0;1) e tangente a entrambe le rette di equazioni y=-4x e 4x+4y-3=0


risultati : y=x^2-2x+1 e y=9x^2+2x+1

grzie!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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La parabola passa per il punto A che pertanto ne soddisfa l'equazione.

Quindi sara' vero che

[math] 1=0^2a+0b+c \to c=1 [/math]

Pertanto abbiamo un fascio di parabole passanti per quel punto, della forma

[math] y=ax^2+bx+1 [/math]

Ora troviamo i generici punti di intersezione del fascio con la prima retta

[math] \{y=ax^2+bx+1 \\ y=-4x [/math]

Sostituiamo alla y della parabola, il controvalore della y della retta e risolviamo

[math] -4x=ax^2+bx+1 \to ax^2+(b+4)x+1=0 [/math]

Affinche' questa retta sia tangente alla parabola, le soluzioni di questa equazione di secondo grado, che esprimono le due ascisse dei punti di intersezione, dovranno essere coincidenti. Unico modo per avere due soluzioni coincidenti in un'equazione di secondo grado e' fare in modo che il delta sia zero.

Il delta dell'equazione e':

[math] \Delta=(b+4)^2+4a(1) [/math]
che sara' = a zero per
[math] (b+4)^2+4a=0 \to b^2+8b+16+4a=0 [/math]

che e' un'equazione di secondo grado, in incognita b e con i parametri:
a=1
b=8
c=16+4a=4(4+a)

le soluzioni saranno (uso la ridotta dal momento che b=8 pertanto pari.. Attenzione. Parlo di "b" inteso come coefficiente del termine di primo grado...)

[math] b_{1,2}= -4 \pm \sqrt{16-16-4a}= -4 \pm 2 \sqrt{a} [/math]

Pertanto b potra' assumere due valori

I fasci delle parabole passanti per il punto A e tangenti alla retta y=-4x saranno dunque:

[math]y= ax^2+(-4+2 \sqrt{a})x+1 [/math]

e

[math] y=ax^2+(-4-2 \sqrt{a})x+1 [/math]

A questo punto portiamo avanti il primo fascio.
Mettiamolo a sistema con la seconda retta e, analogamente a quanto fatto prima, poniamo il delta = 0

La retta e'
[math] 4x+4y-3=0 \to y=-x+ \frac34 [/math]

[math] -x+ \frac34= ax^2+(-4+2 \sqrt{a})x+1 \to ax^2+(-3+2 \sqrt{a})x+ \frac14=0 [/math]

[math] \Delta= (-3+2 \sqrt{a})^2-4a(\frac14)=0 [/math]

e dunque

[math] 9-12 \sqrt{a}+4a-a=0 \to 9-12 \sqrt{a}+3a=0 [/math]

E quindi (con a>0)

[math] 12 \sqrt{a}=9+3a \to 144a=81+9a^2+54a \to \\ \to 9a^2-90a+81=0 \to a^2-10a+9 [/math]

Somma e prodotto

[math] (a-1)(a-9)=0 [/math]

E quindi

a=1

a=9

e di conseguenza

[math] b=-4+2 \sqrt{a} \to b=-2 \\ b=+2 [/math]

Pertanto di questo fascio esisteranno due parabole tangenti anche alla seconda retta che sono quelle della tua soluzione.

Probabilmente (e verificalo tu) del secondo fascio che abbiamo trovato, non esistono parabole tangenti anche alla seconda retta.

Non l'ho finito, prova tu.

Il procedimento e' identico!
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