issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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sembrerà strano che proprio io chieda aiuto in matematica....siccome il mio prof nn ha spiegato le derivate ma ha dato da farle a casa nn ho capito bene alcuni passaggi...posto un es e vi dico cosa nn ho capito...
[math]y=\ln \frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{3}arc tg \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
i meii dubbi sono:
1-dopo che ho derivato il logaritmo e il quoziente in cui la radice è cmq derivata devo derivare ancora la radice??
2-se la radice è al denominatore la formula di derivazione è inversa?
3-quando devo derivare
[math]x^2+x+1[/math]
, visto che questo è al denominatore devo moltiplicare per
[math]\sqrt{1}{2x+1} [/math]
oppure per
[math]2x+1[/math]
???
grazie mille!!!:hi
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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aiuto..qual è
[math]f(z)'[/math]
?
quindi cm sarebbe la derivazione del primo addendo??
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Aspetta... sto completando.

Ho tolto Z perché forse ti confondeva.
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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grazie mille!!!cmq è molto bravo sl che eravamo indietro col programma e ha dato da fare a casa..riesco a fare più es...però non quelli in cui ho questi dubbi...cmq pian piano facciamo ok?
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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La derivata del primo addendo, sempre che non abbia fatto cavolate, mi viene in quel modo (vedi più su).

Le derivate fondamentali le hai imparate a memoria? Comunque la derivata di una funzione la puoi vedere in due modi: o come tangente della curva o come limite del rapporto incrementale. Per "rapporto incrementale", queste parolone, intendo semplicemente di quanto cresce la Y al crescere della X e si indica con la formula:

[math]\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}[/math]

Tutte le derivate, comprese quelle fondamentali, le puoi ricavare da tale formula.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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Progettista HW: Le derivate fondamentali le hai imparate a memoria? Comunque la derivata di una funzione la puoi vedere in due modi: o come tangente della curva o come rapporto incrementale.

la derivata è il coefficiente angolare (=tg(a)) della retta tangente a una curva. ma la tangente alla curva è una retta, non una derivata. più precisamente, la derivata è il limite per h (incremento di x) che tende a 0 del rapporto incrementale (se fosse semplicemente un rapporto incrementale "perderesti" la tangenza)
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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aiuto...cm,ponendolo cm esponente????ok...a dopo...grazie!
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Intanto devi considerare che la derivata dell'arcotangente è:

[math]\arctan(t)'=-\frac{1}{1+t^2}[/math]

Nel tuo caso
[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]

Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.

Quindi:

[math]\arctan t(x)' = \frac{1}{1+(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2}[/math]

[math]t(x)'= \frac{2}{\sqrt{3}}[/math]
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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ok giusto ho fatto così....però l'
[math]\sqrt{3}[/math]
che c'è davanti deve essere sviluppata cm prodotto???
perchè poi alla fine mi vine solo il denominatore!!!
se vuoi ti posto il mio procedimento!
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Ma tanto è solo un coefficiente, non una funzione. Il risultato quale dovrebbe essere?
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Progettista HW:
Nel tuo caso
[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]
...
[math]t(x)'= \frac{2\sqrt{3}-(2x+1)(\frac{1}{2\sqrt{3}})}{3} = [/math]

Il fattore sqrt(3) a denominatore è un NUMERO COSTANTE e non una funzione.
Se
[math]f(x) = \frac {2x +1}{\sqrt 3}[/math]
a casa mia
[math]f^'(x) = \frac {2}{\sqrt 3}[/math]

Non fatevi ingannare dai numeri costanti:
la derivata è un'operazione lineare, ovvero, se a e b sono numeri reali (o complessi)
[math]D (a f(x) + b g(x)) = aDf(x) + bDg(x)[/math]
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Ricapitolo tutto, con le correzioni agli errori di calcolo, apportate da me e da Cherubino:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

[math]y =\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]

La tua è una differenza tra funzioni composte.

La funzione composta è
[math]f[g(x)][/math]
, spesso indicata con
[math](f \circ g)[/math]
.
La derivata di una funzione composta è
[math]f[g(x)]' \cdot g(x)'[/math]
, ovvero equivale al prodotto tra la derivata dell'argomento della funzione e la derivata della funzione stessa.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dividiamo in compito in due parti, per eseguire il calcolo delle due funzioni composte.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

La prima funzione composta è:

[math]\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]

La seconda funzione composta è:

[math]-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PRIMA FUNZIONE COMPOSTA:

[math]\ln\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]

Deriviamo prima la funzione intera. Sai che la derivata del logaritmo naturale è
[math]\ln(x) = \frac{1}{x}[/math]
. Quindi verrà:
[math]f[g(x)]' = \frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1}[/math]

Poi deriviamo l'argomento della funzione:

[math]g(x) =\frac{x-1}{\sqrt{x^2+x+1}}[/math]

Tieni conto che
[math]g(x)[/math]
è a sua volta il rapporto tra due funzioni,
[math]g(x) = \frac{r(x)}{s(x)}[/math]

in cui

[math]r(x) = x-1[/math]
e
[math]s(x) = \sqrt{x^2+x+1}[/math]
.
[math]g(x)' = (\frac{r(x)}{s(x)})' = \frac{r(x)'s(x) - r(x)s'(x)}{[s(x)]^2} = \frac{\sqrt{x^2+x+1}-(x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]

[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}-(x-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]

[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}-\frac{x-1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]

[math]\frac{\frac{2(x^2+x+1)-x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}}{x^2+x+1}[/math]

[math]\frac{2(x^2+x+1)-x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]

[math]\frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]


La derivata del primo termine sarà quindi:

[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1} \cdot \frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}(x^2+x+1)}[/math]

[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^2+x+1)(x-1)}[/math]

RISULTATO:
[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^3-1)}[/math]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

SECONDA FUNZIONE COMPOSTA:

[math]-\sqrt{3}\arctan(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})[/math]

Intanto devi considerare che la derivata dell'arcotangente è:

[math]\arctan(t)'=\frac{1}{1+t^2}[/math]

Nel tuo caso
[math]t = \frac{2x+1}{\sqrt{3}}[/math]

Però ricorda che è una funzione composta, quindi prima fai la derivata dell'argomento dell'arcotangente e la lasci da parte, successivamente svolgi la derivata della funzione composta (Interamente) e infine moltiplichi i due risultati.

Quindi:

[math]\arctan t(x)' = \frac{1}{1+(\frac{2x+1}{\sqrt{3}})^2} = \frac{1}{1+\frac{4x^2+4x+1}{3}} = \frac{1}{\frac{4x^2+4x+4}{3}} =[/math]
[math]\frac{1}{12(x^2+x+1)}[/math]

[math]t(x)'= \frac{2}{\sqrt{3}}[/math]


La derivata del secondo termine sarà quindi:

[math]\frac{1}{12(x^2+x+1)} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}[/math]

[math]\frac{2}{12\sqrt{3}(x^2+x+1)}[/math]

Moltiplichiamo il tutto per il coefficiente
[math]-\sqrt{3}[/math]

RISULTATO:
[math]-\frac{1}{6(x^2+x+1)}[/math]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Il risultato totale sarà (forse) dato da:

[math]\frac{2x^2+x+3}{2(x^3-1)}-\frac{1}{6(x^2+x+1)}[/math]
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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ok fino a qui ci sono....ho fatto più veloce facendo subito il reciproco del logaritmo..che mi veniva
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x-1}[/math]
cmq sia ora dall'ultimo passaggio che hai svolto ho ftto
[math]\frac{\sqrt{x^2+x+1}}{x+1}*\frac{2x^2+x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}*\frac{1}{x^2+x+1}[/math]
semplificando ottendo:
[math]\frac{2x^2+x+3}{(x-1)(x^2+x+1)[/math]
giusto fin qui??
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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No... ho modificato su. Da dove ti è spuntato x+1?

Comunque continuerò a modificare il testo finché non arriverò alla conclusione.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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credo abbia sbagliato a scrivere, infatti poi è corretto

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