Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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Si tratta di rappresentare il diagramma di questa funzione, non riesco a calcolarne la derivata prima...Cioè mi viene la monotonia invertita...HELP!!!!

(1/2)^(4 - |x|)^2

il quadrato eleva solo (4 - |x|) , non tutta la funzione.

Siccome la funzione è pari, ho studiato la derivata solo a (0, +infinito) togliendo il valore assoluto.

HELP!!!!!!!!!!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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[math]{(\frac12)}^{(4-|x|)^2}[/math]

consideri la funzione per x>0:

[math]y={(\frac12)}^{(4-x)^2} \\
y={(\frac12)}^{(x^2-8x+16)}[/math]

[math]y'={(\frac12)}^{(x^2-8x+16)}\cdot log(\frac12)\cdot(2x-8 )[/math]

lo stesso vale per x<0 ma con il segno invertito al valore assoluto

il segno della derivata dipende esclusivamente dal fattore (2x-8 )
Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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allora dovrei fare 2x - 8 > 0 che mi da x < 4. Però c'è un log(1/2) che è negativo, quindi correggetemi se sbaglio ma la funzione cresce nell'intervallo (0,4) e decresce in (4, +inf) ?
e la derivata seconda come la calcolo?
HELP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! mancano pochi giorni all'esame!!!!!!!!!!!!!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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esattamente...al contrario per x<0 sarà f'(x)>0 per -4<x<0 e f'(x)<0 per -inf<x<-4

la derivata seconda in questo caso potrebbe anche essere superflua..in ogni caso considerando sempre x>0 si ha:

[math]f''(x)=log(\frac12)[(\frac12)^{(x^2-8x+16)}\cdot log(\frac12)\cdot(2x-8 )(2x-8 )+ 2(\frac12)^{(x^2-8x+16)}]= \\
= log(\frac12)\cdot(\frac12)^{(x^2-8x+16)}[log(\frac12)\cdot(2x-8 )^2+ 2][/math]

ecco..
Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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e quindi come faccio a sapere dove la funzione è concava e dove è convessa??
ps: grazie di tutto!!!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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studiando la derivata seconda...
la parte che precede la parentesi quadra è sempre negativa..quindi tocca studiare l'espressione in parentesi quadra

[math]log(\frac12)\cdot (2x-8 )^2+2\ge 0 \shortrightarrow 4x^2-32x+64+\frac{2}{log(\frac12)}\le0\shortrightarrow \\
\\ \shortrightarrow \Delta= 1024-1024+sqrt{\frac{-32}{log(\frac12)}}=4sqrt{\frac{-2}{log(\frac12)}[/math]

(nota che la quantità sotto radice è positiva)



[math]x_1 = \frac{32-4sqrt{\frac{-2}{log(\frac12)}}}{8} \approx 3,14 = \alpha[/math]
[math]x_2 = \frac{32+4sqrt{\frac{-2}{log(\frac12)}}}{8} \approx 4,85= \beta[/math]

quindi ricordando che l'espressione prima della parentesi quadra era negativa si ha:

[math]f''(x)>0 \longrightarrow x<\alpha \ oppure \ x>\beta[/math]

la f(x) è concava in
[math][0,\alpha][/math]
la f(x) è convessa in
[math] [\alpha, \beta][/math]
la f(x) è concava in
[math][\beta, +\infty][/math]
Marko.19
Marko.19 - Habilis - 232 Punti
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è quello il risultato, grazie mille, sei un genio!!!!!!!!!!!!!!!!!
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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ahahaha..basta avere pazienza con i calcoli..
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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lo sappiamo tutti che aleio è un genio!!!chiudo!
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