Hyper7
Hyper7 - Erectus - 50 Punti
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Ragazzi potete aiutarmi a risolvere questi esercizi?

1) Fra tutti i rettangoli di data area, che misura a^2, determina quello la cui diagonale è minima.

2) Fra tutti i triangoli isosceli inscritti in un cerchio di raggio r, determina quello di area massima.


Grazie in anticipo per le risposte
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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ti faccio il primo, per il secondo ci pensa ciampax stasera
innanzitutto dobbiamo trovare una funzione che esprima la diagonale d. chiamo x e y i lati di un generico rettangolo, quindi
[math]d = \sqrt{x^2 + y^2} [/math]
sappiamo che
[math] xy = a^2[/math]
, dunque
[math] y = \frac{a^2}{x} [/math]

a questo punto esprimiamo la diagonale in funzione della variabile x:
[math] d = \sqrt{x^2 + \left(\frac{a^2}{x} \right)^2} [/math]
ora imponiamo che la derivata prima di tale funzione sia = 0 (in realtà nn è una condizione sufficiente, cmq tieni presente che se x0 è un punto di minimo allora la funzione deve decrescere prima di x0, e crescere dopo x0.. per brevità nn scrivo tutto però)

quindi
[math] d' = [...] = 2 \left( \frac{x^4-a^4}{x^3} \right) \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{x^2 + a^2}{x^2}} = 0 [/math]

si può verificare solo nel caso |x| = |a|, cioè x = y = a

per il 2, probabilmente qlcuno correggerà il tiro, cmq il procedimento è simile: ti trovi la funzione che esprime l'area, ossia
[math]\frac{2 \sqrt{r^2 - x^2} \ (r+x)}{2}[/math]
e poi calcoli la derivata imponendola = 0, con le stesse considerazioni che ho fatto in precedenza
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