80ciccia
80ciccia - Erectus - 120 Punti
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Sapete scrivermi una definizione precisa di DIMENSIONE TOPOLOGICA e di CURVA OMOGENEA???

grazie 1000!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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mmmmmmmmmmmmm!!!!!!!!!!!!!

mica facile dare un definizione semplice di sta roba!

Cmq, per quelle esatte....

Dimensione Topologica

Consideriamo un insieme
[math]X[/math]
e un insieme di suoi sottoinsiemi
[math]\tau[/math]
, detto topologia di
[math]X[/math]
, che gode delle seguenti proprietà:
1) per ogni
[math]A,B\in\tau[/math]
,
[math]A\cup B, A\cap B\in\tau[/math]
,
2)
[math]X[/math]
e l'insieme vuoto
[math]\emptyset[/math]
sono in
[math]\tau[/math]
.
La coppia
[math](X,\tau)[/math]
si dice allora spazio topologico.
Se
[math]\mathcal{U}=\{U_i,i\in I\}[/math]
è tale che
[math]X\subseteq\bigcup_{i\in I}U_i[/math]
allora
[math]\mathcal{U}[/math]
si dice ricoprimento di
[math]X[/math]
. Se poi
[math]\mathcal{U}'=\{U_i', i\in I'\}[/math]
è tale che
1) è un ricoprimento di
[math]X[/math]
2) ogni
[math]U_i\subseteq\bigcup_{j\in J\subset I'}U_j'[/math]
,
allora
[math]\mathcal{U}'[/math]
si dice raffinamento di
[math]\mathcal{U}[/math]
.
A questo punto possiamo dare la seguente definizione

DEFINIZIONE: La dimensione topologica (o dimensione di ricoprimento di Lebesgue) di uno spazio topologico
[math]X[/math]
è uguale al numero intero positivo
[math]n[/math]
se esso è il più piccolo intero per cui vale la situazione seguente:
ogni ricoprimento ha un raffinamento tale che ogni punto di
[math]X[/math]
appartiene a non più di
[math]n+1[/math]
elementi del raffinamento.


Per il secondo quesito, non esiste una definizione generale di curva omogena. In realtà quello che si può dire, ad esempio nel caso di
[math]\mathbb{R}^3[/math]
, è che una curva omogenea di grado
[math]n[/math]
è una curva di equazione
[math]C(x,y,z)=\sum_{i+j+k=n}a_{ijk}x^i y^j z^k[/math]

cioè un polinomio di grado
[math]n[/math]
omogeneo (i.e. tutti i monomi che lo compongono sono di grado
[math]n[/math]
). Qui
[math]x,y,z[/math]
sono le coordinate in
[math]\mathbb{R}^3[/math]
e
[math]a_{ijk}\in\mathbb{R}[/math]
sono costanti reali.




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