rossiandrea
rossiandrea - Eliminato - 298 Punti
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Ciao, sto provando a risolvere il seguente problema:
Dato il fascio
[math](2k-1)x+(k+3)y-k+1=0[/math]
e il punto
[math]A=(1;0)[/math]
Determinare le rette che intersecano OA.
Facendo passare il fascio di rette per A viene
[math]k = 0[/math]
e facendolo passare per O viene
[math]k = 1[/math]
.
Non capisco però il passaggio che si fa da lì al risultato che viene dato come soluzione
[math]0\le k\le1[/math]
. Chi mi assicura che il valore di k è compreso tra 0 e 1 e non è invece
[math]k\le0[/math]
e
[math]k\ge1[/math]
?
mc2
mc2 - Genius - 14000 Punti
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Prima di tutto una domanda: per OA intendi il segmento o la retta?

Rispondo assumendo che si parli del segmento OA.

Metodo rozzo, spiccio e pratico (ma non rigoroso: se lo usi in un compito probabilmente ti viene segnato errore... usalo solo in brutta per fare un controllo veloce!):

Prova a usare
[math]k=\frac{1}{2}[/math]
e vedi se la retta che ottieni interseca OA: se si` allora scegli
[math]0\le k\le 1[/math]
, se non lo interseca allora scegli
[math]k\le 0[/math]
e
[math]k \ge 1[/math]


In questo caso, se usi
[math]k=\frac{1}{2}[/math]
trovi la retta
[math]y=-\frac{1}{7}[/math]
che NON interseca OA, quindi la risposta esatta e`
[math]k\le 0[/math]
e
[math]k \ge 1[/math]


Metodo rigoroso e corretto (da usare nel compito!):

Un generico punto
[math]P[/math]
sul segmento OA ha coordinate
[math](p,0)[/math]
, con
[math]0\le p\le 1[/math]

La retta del fascio che passa per
[math]P[/math]
e`:
[math](2k-1)p-k+1=0[/math]

[math]p=\frac{k-1}{2k-1}[/math]

Imponiamo le condizioni su
[math]p[/math]
, che devono essere soddisfatte simultaneamente:
[math]0\le p\le 1[/math]

[math]p\ge 0~~~~\Rightarrow~~~~ \frac{k-1}{2k-1}\ge 0[/math]

questa disequazione e` soddisfatta per
[math]k< \frac{1}{2}[/math]
oppure
[math]k \ge 1[/math]

[math]p\le 1~~~~\Rightarrow~~~~ \frac{k-1}{2k-1}\le 1[/math]

cioe`
[math]-\frac{k}{2k-1}\le 0[/math]

e questa seconda disequazione e` soddisfatta per
[math]k \le 0[/math]
oppure
[math]k> \frac{1}{2}[/math]
.

Le due disequazioni sono soddisfatte simultaneamente se

[math]k\le 0[/math]
e
[math]k \ge 1[/math]
Matefisico
Matefisico - Sapiens Sapiens - 828 Punti
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Infatti dovrebbe venire k≤0 e k≥1
Se dai a k per esempio 1/2, vedrai che verrà la retta Y = -1/7 che sicuramenre non passa pe OA....
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