plum
plum - Mito - 23902 Punti
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qualcuno sa come si dimostra che la serie aurea (si chiama così?)

[math]\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+...[/math]

tende a
[math]+\infty[/math]
?
grazie in anticipo!:hi
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Beh...a me pare ke tende a
[math]-\infty[/math]
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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:concome fa la somma di infiniti numeri positivi a tendere a
[math]-\infty[/math]
???
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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sorry...la somma!! pensavo la successione...scusa!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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perchè la successione dovrebbe tendere a - infinito? scusa, ma proprio non capisco! dovrebbe tendere a 0, perchè
[math]\frac{1}{\infty}=0[/math]
o meglio
[math]\begin{matrix} \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \end{matrix}=0[/math]
(sempre che si scriva così!:lol)
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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Ok...ok...sto fuori hai ragione!
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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non preoccuparti... anzi, grazie per esserti interessato!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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è una serie armonica, la dimostrazione se vuoi te la faccio (forse domani perchè oggi nn ho tempo) ma è con gli integrali
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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con gli integrali direi di no... non so neanche cosa siano!
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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cmq, so che la cosa può sembrare strana, ma se consideri la funzione y=1/x (che richiama 1/n), vedi che è un'iperbole equilatera che a infinito va a 0, tuttavia nn è sufficiente per dire che converge.
l'integrale (definito) di una funzione nn è altro che l'area del sottografico, cioè quella compresa tra funzione e asse x. calcolando l'integrale (anche se nn lo sai fare te lo assicuro) si vede che quest'area è infinita; poi c'è un criterio (detto "del confronto integrale" ) che ti assicura che se l'integrale di una funzione converge, allora converge pure la serie ad essa associata; se diverge, diverge pure la serie. essendo l'integrale divergente, trai la conclusione che la serie armonica diverge.
nn si può dire altrettanto ad esempio per y=1/x^2.. intuitivamente puoi vedere che per x-->inf, 1/x^2 va a 0 molto + "velocemente" rispetto a 1/x; cmq per dimostrarlo si ricorre al medesimo criterio
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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ma perchè l'integrale divergr nella serie armonica e non nella y=x^2? anche li è più o meno la stessa cosa...
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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y=1/x^2 (nn y=x^2)
gli integrali nn sono i limiti.. per cui se un limite va a 0 nn è detto che l'integrale vada a 0.. in ogni caso mi pare sia evidente che 1/x^2 vada a 0 più velocemente. per ora nn puoi fare altre considerazioni, almeno fino a qndo nn farai gli integrali (verso la fine della 5)
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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si, va + velocemente, ma se 1/x^2 non sarà mai 0, l'area della funzione sarà infinita e quindi la funzione sarà divergente...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No plum, è qui che ti sbagli!

L'integrale calcola l'area della regione di piano compresa sotto la curva data dalla funzione
[math]y=f(x)[/math]
e l'asse delle x.
Proprio per il fatto che la funzione
[math]1/x^2[/math]
va a zero (per x che va ad infinito) più velocemente della funzione 1/x, accade che l'area della figura sotto la prima funzione sia finita mentre quella sotto la funzione 1/x risulti infinita!
Magia della matematica! :lol
plum
plum - Mito - 23902 Punti
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si, ora ho capito; e un po' come dire
[math]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+...=1[/math]
(come ragionamento, intendo: la somma di infiniti elementi non da per forza un numero infinito). non ci sono altri metodi per spiegarlo? magari senza usare i log?

Pagine: 12

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