alessandroass
alessandroass - Genius - 4438 Punti
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Potreste dirmi se ho risolto correttamente questa piccola moltiplicazione?:

[math](2a^{2n}-1)\cdot(1-2a^{2n})[/math]
risultato
[math]2a^{2n}-4a^{4n}-1+2a^{2n}[/math]

Questo tipo di espressione ha qualche nome particolare e si risolve in un determinato modo, oppure si esegue una normalissima moltiplicazione tra polinomi?

Grazie!
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Si me sembra giusto.

Puoi anche sommare i 2 termini con
[math]a^{2n}[/math]
dato che sono simili ( stessa parte letterale)
aleio1
aleio1 - Mito - 18949 Punti
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se raccogli un -1 un uno dei 2 fattori ottieni:

[math](2a^{2n}-1)\cdot(1-2a^{2n})=(2a^{2n}-1)\cdot (-1) \cdot (2a^{2n}-1)=-(2a^{2n}-1)^2=[/math]

[math]=-(4a^{4n}+1-4a^{2n})=-4a^{4n}+4a^{2n}-1[/math]

quindi è un semplice quadrato di binomio al quale dovrai cambiare i segni una volta svolto.

In ogni caso il tuo risultato è giusto. (ricordati che puoi sommare i due
[math]2a^{2n}[/math]
.
ti trovi?
alessandroass
alessandroass - Genius - 4438 Punti
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Nel secondo passaggio il -1 l'hai potuto mettere lì in mezzo solo perchè è 1 o si può mettere in qualsiasi caso?
In poche parole, non mi è chiaro questo passaggio e domani ho il compito :(:
[math](2a^{2n}-1)\cdot (-1) \cdot (2a^{2n}-1)[/math]
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math](2a^{2n}-1) (-(a^{2n}-1))[/math]

Ha semplicemente raccolto il fattore -1.

A questo punto, siccome per la proprieta' commutativa i fattori possono essere moltiplicati in qualunque ordine, ha moltiplicato prima le due quantita' analoghe (sviluppando il quadrato del binomio) e poi ha moltiplicato per il -1 (precedentemente raccolto)

E' un metodo diverso, che senza dubbio esalta la conoscenza del quadrato del binomio, ma come l'hai svolta tu va benissimo ugualmente.
alessandroass
alessandroass - Genius - 4438 Punti
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Si, infatti la professoressa vuole che applichiamo la proprietà del quadrato, segnandoci come errore la maniera in cui l'ho risolta io :(

Ma se invece di -1 c'era per esempio +4 si poteva raccogliere il +4 o no?

Grazie !
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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[math](2a^{2n}-1)(4-8a^{2n})
\\

(2a^{2n}-1)(-4)(-1+2a^{2n})

\\

(-4)(2a^{2n}-1)^2


[/math]

Si puoi raccogliere il 4 se c'era; in linea generale devi vedere se, raccogliendo una determinata quantità da una delle 2 parentesi, riesci ad ottenere un prodotto notevole ( che ti agevola i calcoli)

Come vedi nel mio esempio ti ho cambiato la 2° parentesi, altrimenti raccogliendo -4 non avrei fatto altro che incasinarmi i calcoli. ;)
alessandroass
alessandroass - Genius - 4438 Punti
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Parlando del quadrato di trinomio, come si fa a capire come bisogna risolverlo se i segni sono messi sia negativi che positivi??

Esempio

[math](a-b-c)^2[/math]

[math](-a+b+b)^2[/math]

[math](a+b-c)^2[/math]

Bisogna ogni volta moltiplicarli normalmente come fossero dei polinomi o c'è qualche "trucco" che evita di fare tutte queste moltiplicazioni??

Grazie!!
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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No.

Devi semplicemente considerare il prodotto dei segni.

Nello sviluppo hai:

[math] a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac [/math]

Se una quantita' e' negativa, dove questa quantita' ha esponente dispari mantiene il segno e dove ce l'ha pari diventa positiva.

quindi nel caso, ad esempio, di

[math] (a-b+c)^2 [/math]

Dove compare b con esponente dispari (ovvero in questo caso alla prima) il segno rimarra' negativo

e quindi

[math] a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac [/math]

Dove compare b alla prima il segno e' negativo.

Nel caso di
[math] (a-b-c)^2 [/math]

il prodotto (ab) sara' negativo (+ x -), il prodotto ac idem, il prodotto bc positivo (-x-)

quindi

[math] a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc [/math]

In fondo e' los tesso ragionamento che devi utilizzare per la potenza di un binomio (differenza)

Se ad esempio hai

[math] (a-b)^3 [/math]

Dove b ha esponente dispari, il segno sara' meno, quindi

[math] a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 [/math]

Spero di essere riuscito a spiegarmi.. :D
alessandroass
alessandroass - Genius - 4438 Punti
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Quindi il risultato di questo sarà:

[math](-a+b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab-2bc+2ac[/math]

è corretto?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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esatto
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