calimero92
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vi posto degli esercizi che non mi escono con il mio procedimento:potete,per favore,dirmi dove sbaglio e perchè i risultati vengono diversi dal libro?


1)TESTO:
[math]cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0[/math]
RISULTATI LIBRO:
[math]\pm90+k360;\pm18+720;\pm36+k144[/math]

SVOLGIMENTO:
[math]2cos(\frac{5x}{2})cos(\frac{1x}{2})+2cos(\frac{5x}{2})cos(\frac{3x}{2})=0[/math]
[math]-> cos\frac({1x}{2})+cos\frac({3x}{2})=0[/math]
[math]->2cos4xcos2x=0[/math]
[math]->2cos(2x)cos2x=0[/math]
[math]->(2cos^2x-1)cos2x=0[/math]
[math]=>cos2x=0->x=\pm45+k180[/math]
e
[math]cos2x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}=>x=\pm67,5+k180[/math]
e
[math]=>x=\pm22,5+k180[/math]

2) TESTO:
[math]\sqrt{3}senx+3cos(180-x)=3[/math]
RISULTATI LIBRO:
[math]180+k360;120+k360[/math]

SVOLGIMENTO:
[math]\sqrt{3}cosx+\sqrt{3}-senx=0[/math]
[math]->\sqrt{3}\frac{1-t^2}{1+t^2}+\sqrt{3}\frac{1+t^2}{1+t^2}-\frac{2t}{t^"+1}=0[/math]
[math]->\sqrt{3}-sqrt{3}t^2+sqrt{3}+\sqrt{3}t^2-2t=0[/math]
[math]->t=-\sqrt{3}=>tgx=-\sqrt{3}=>x=120+k360[/math]

3)TESTO:
[math]2(cos^2-sen^2x)=(\sqrt{3}-1)(cox+senx)[/math]
qui non so proprio che fare ho provato sia a sostituire con
[math]cos2x=cos^2-sen^2x[/math]
che con
[math]cos^2x=1-sen^2x[/math]
ma vengono calcoli lunghi lunghi lunghi....avete altre idee a proposito?
vi sarei davvero grata se qualcuno si degnasse di rispondere :thx:thx
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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La prima: applicando prostaferesi hai

[math]2\cos(3x/2)\cos(x/2)+2\cos(7x/2)\cos(x/2)=0[/math]

[math]2\cos(x/2)\cdot[\cos(3x/2)+\cos(7x/2)]=0[/math]

[math]2\cos(x/2)\cdot 2\cos(5x/2)\cos(x)=0[/math]

e quindi

[math]\cos(x/2)=0\ \Rightarrow\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\pi+2k\pi[/math]

[math]\cos(5x/2)=0\ \Rightarrow\ \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{5}+k\frac{2\pi}{5}[/math]

[math]\cos(x)=0\ \Rightarrow\ x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/math]
.

La seconda: poiché
[math]\cos(\pi-x)=-\cos x[/math]

[math]\sqrt{3}\sin x-3\cos x=3[/math]

e con la sostituzione parametrica

[math]\frac{2\sqrt{3} t}{1+t^2}-3\frac{1-t^2}{1+t^2}=3[/math]

da cui semplificando

[math]2\sqrt{3} t=6\ \Rightarrow\ t=\frac{6}{2\sqrt{3}}=\sqrt{3}[/math]

e quindi

[math]\tan\frac{x}{2}=\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{3}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi[/math]
.

La terza: ricordando che la differenza di quadrati si scompone come somma per differenza si ha

[math]2(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\sqrt{3}-1)(\cos x+\sin x)=0[/math]

[math](\cos x+\sin x)\cdot[2\cos x-2\sin x-\sqrt{3}+1]=0[/math]

Quindi deve essere:

1)
[math]\cos x+\sin x=0\ \Rightarrow\ \tan x+1=0\ \Rightarrow\ \tan x=-1\ \Rightarrow\ x=\frac{3\pi}{4}+k\pi[/math]

2)
[math]2\cos x-2\sin x-\sqrt{3}+1=0[/math]

da cui, di nuovo con la sostituzione parametrica

[math]2-2t^2-4t-(\sqrt{3}-1)(1+t^2)=0[/math]

da cui

[math](1+\sqrt{3}) t^2+4t+\sqrt{3}-3=0[/math]

Poiché il discriminante di questa equazione è

[math]16-4(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}-3)=4[4+2\sqrt{3}]=4[1+3+2\sqrt{3}]=4[1+\sqrt{3}]^2[/math]

le soluzioni per t sono

[math]t_{1/2}=\frac{-4\pm 2[1+\sqrt{3}]}{2(1+\sqrt{3})}=\frac{-2\pm(1+\sqrt{3})}{1+\sqrt{3}}[/math]

da cui

[math]t_1=\frac{-3-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=-\sqrt{3}[/math]

[math]t_2=\frac{-1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2[/math]

e quindi

[math]\tan\frac{x}{2}=-\sqrt{3}\ \Rightarrow\ \frac{x}{2}=\frac{2\pi}{3}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi[/math]

oppure

[math]\tan\frac{x}{2}=\sqrt{3}-2\ \Rightarrow\ \frac{x}{2}=\frac{11\pi}{12}+k\pi\ \Rightarrow\ x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/math]
.
Ecco fatto.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Prego. Chiudo!
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