louise
louise - Genius - 2810 Punti
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grazie minimo per avermi aiutato cn l'esercizio di prima sei stato gentilissimo
però adesso sn in difficoltà cn un altro esercizio

trovare la continuita e la derivabilità della funzione:


y= sistema di x^2 e 2x+1 per x^2 x<= 3 e per 2x+1 x>3

perfavore aiutatemi grazie mille
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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allora se restringi il dominio della funzione assegnata ai valori di
[math]x<3 [/math]
ottieni che la
[math]y=x^2[/math]
(perché è questa la funzione per valori di
[math]x<3[/math]
); è ovvio che essendo
[math]x^2[/math]
una funzione continua e derivabile su tutta la retta a maggior ragione lo è nell'intervallo aperto
[math]-\infty<x<3[/math]

Idem se restringi il dominio della funzione assegnata ai valori di
[math]x>3[/math]
dato che si ottiene
[math]y=2x+1[/math]
.
Il problema nasce nel punto
[math]x=3[/math]
perché se ci si accosta da sx allora
[math]y(x)[/math]
è una parabola se invece ci si accosta da dx
[math]y(x)[/math]
è una retta. Comunque rimpiccioliamo l'intorno di
[math]x=3[/math]
le cose non cambiano.
In questi casi si deve per forza ricorrere alla definizione:
[math]y(x)[/math]
è continua nel punto 3 <=>
[math]\lim_{x \rightarrow 3^{-}}y(x)=\lim_{x \rightarrow 3^{+}}y(x)[/math]

allora se ti accosti a 3 da sx la funzione è la parabola ed il valore a cui converge è proprio il valore della parabola in x=3 ovvero
[math]y=9[/math]
.
se ti accosti a 3 da dx allora la
[math]y(x)[/math]
prende valori sulla retta e dunque il limite è il valore di
[math]y(x)[/math]
calcolato sulla retta
[math]y=2x+1[/math]
nel punto
[math]x=3[/math]
ovvero
[math]y=7[/math]
.
i due valori non coincidono (se non ho fatto errori di calcolo) quindi la funzione non può essere continua in
[math]x=3[/math]
.
Se non è continua in un punto non ho speranze che in quel punto sia derivabile. Quindi la funzione non è né continua e né derivabile in
[math]x=3[/math]
. In tutti gli altri punti della retta è continua e derivabile.
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