caaire
caaire - Erectus - 50 Punti
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Si determinino i coefficienti dell'equazione y = ax2 + bx + c (a > 0) in modo che la parabola da essa rappresentata sia tangente alle rette di equazione y = x e y = x/2 ed abbia la corda congiungente i punti di contatto di lunghezza 5/2.

vi prego aiutatemi!
grazie
ciao
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Con le derivate o con la geometria analitica?
caaire
caaire - Erectus - 50 Punti
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nel metodo che preferisci...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, consideriamo la funzione
[math]f(x)=ax^2+bx+c[/math]
, la cui derivata è
[math]f'(x)=2ax+b[/math]
. L'equazione di una tangenta alla curva
[math]y=f(x)[/math]
in un punto
[math](\alpha,f(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c)[/math]
è data da
[math]y-f(\alpha)=f'(\alpha)(x-\alpha)[/math]

o anche

[math]y=f'(\alpha)\cdot x+f(\alpha)-\alpha\cdot f'(\alpha)[/math]

Se imponiamo che l'equazione qui sopra coincida con l'equazione
[math]y=x[/math]
allora
[math]f'(\alpha)=1,\qquad f(\alpha)-\alpha\cdot f'(\alpha)=0[/math]

e quindi

[math]2a\alpha+b=1,\qquad a\alpha^2+b\alpha+c-\alpha=0[/math]

da cui

[math]b-1=-2a\alpha,\qquad a\alpha^2-2a\alpha^2+c=0[/math]

e infine

[math]b=1-2a\alpha,\qquad c=a\alpha^2[/math]

Analogamente possiamo andare a risolvere nell'altra equazione
[math]y=x/2[/math]
per cui (cambio il nome dell'incognita perché sarà un punto diverso dal precedente, visto che in un punto esiste una sola tangente ad una curva)
[math]f'(\beta)=1/2,\qquad f(\beta)-\beta\cdot f'(\beta)=0[/math]

e quindi

[math]2a\beta+b=1/2,\qquad a\beta^2+b\beta+c-\beta/2=0[/math]

da cui

[math]b-1/2=-2a\beta,\qquad a\beta^2-2a\beta^2+c=0[/math]

e infine

[math]b=1/2-2a\beta,\qquad c=a\beta^2[/math]

La condizione sulla corda invece ti dice che

[math](\alpha-\beta)^2+[f(\alpha)-f(\beta)]^2=25/4[/math]

e cioè

[math](\alpha-\beta)^2+(a\alpha^2+b\alpha-a\beta^2-b\beta)^2=25/4[/math]

o anche, facendo un po' di conti

[math](\alpha-\beta)^2+(\alpha-\beta)^2[a(\alpha+\beta)+b]^2=25/4[/math]

A questo punto hai il seguente sistema di equazioni

[math]b=1-2a\alpha,\qquad c=a\alpha^2,\qquad b=1/2-2a\beta,\qquad c=a\beta^2\\
(\alpha-\beta)^2+(\alpha-\beta)^2[a(\alpha+\beta)+b]^2=25/4[/math]

La seconda e la quarta equazione ti dicono che
[math]a\alpha^2=a\beta^2[/math]
e quindi che
[math]\alpha=\beta,\qquad \alpha=-\beta[/math]

Solo la seconda condizione va bene (i punti sono diversi) e, supponendo che
[math]\alpha>0,\ \beta<0[/math]
, ci dice che le altre equazioni diventano
[math]b=1-2a\alpha,\qquad b=1/2+2a\alpha,\qquad 4\alpha^2+4\alpha^2 b^2=25/4[/math]
.
La terza equazione ti dice
[math]4\alpha^2(1+b^2)=25/4[/math]
mentre le prime due ti dicono che, sommando e sottraendo membro a membro
[math]2b=3/2,\qquad 0=1/2-4a\alpha[/math]

quindi
[math]b=3/4[/math]
,
[math]4\alpha^2(1+9/16)=25/4[/math]
, da cui
[math]\alpha^2=1/4[/math]
o anche
[math]\alpha=1/2[/math]
,
[math]\beta=-1/2[/math]
.
Infine
[math]0=1/2-2a[/math]
da cui
[math]a=1/4[/math]
e
[math]c=a\alpha^2=1/16[/math]
.
La parabola ha allora equazione

[math]y=\frac{1}{4}\ x^2+\frac{3}{4}\ x+\frac{1}{16}[/math]
.
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