lucyrenzo
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L'esercizio che sto svolgendo è il seguente:
dire se la serie di termine generale
[math]\frac{n^2+5n+3}{(n)(n+1)(n+2)(n+3)}[/math]
converge e, in tal caso, calcolarne la somma.
Sinora, seguendo anche un esercizio svolto in aula, ho scomposto il termine generale in A/n+B/(n+1)+C/(n+2)+D/(n+3), con
A=1/2 , B=1/20 , C=3/10 e D=-119/140( thread postato precedentemente).
Come faccio a ricondurmi ad una serie telescopica, malgrado i coefficienti al numeratore siano tra loro diversi? vi ringrazio per l'aiuto.

p.s. asintoticamente, la serie converge perchè è equivalente alla serie 1/n^ che converge.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Mmmmmmmm.........

Sei sicura che vengano quei coefficienti? Perché se sono quelli, non avrai mai una serie telescopica. Infatti per definizione una tale serie ha la caratteristica che per ogni n fissato alcuni termini appaiono (cambiati di segno) quando n cambia! Ad esempio è telescopica la serie di Mengoli di termine generale

[math]1/n-1/(n+1)[/math]

o quella di termine generale

[math]\frac{1}{n}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{3n}[/math]

Nel tuo caso, credo ti convenga usare un qualche altro criterio di convergenza. Ad esempio, poiché il termine generale si comporta, asintoticamente per n che tende all'infinito, come
[math]1/n^2[/math]
, per il criterio del confronto (asintotico) tale serie converge (visto che converge quella con termine
[math]1/n^2[/math]
essendo una serie armonica generalizzata con esponente maggiore di 1).
lucyrenzo
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infatti, ciampax, non sono riuscita a ricondurmi ad una serie di tipo telescopico. Il prof aveva portato l'esempio di
[math]\frac{1}{n)(n+1)(n+2)}[/math]
trovandosi i coefficienti al numeratore per poter spezzare la frazione in somme:
[math]\frac{1/2}{n} + \frac{-1}{n+1}+ \frac{1/2}{n+2}[/math]
e poi:
[math]\frac{1/2}{n}- \frac{1/2}{n+1} - \frac{1/2}{n+1}- \frac{1/2}{n+2}[/math]
, serie telescopica per l'appunto. E, riconducendomi alla serie telescopica, sono riuscita a trovarmi la serie. Ma, ora, non riuscendo a ricondurmi alla serie telescopica, non ho idea di come calcolarmi la somma richiesta:dontgetit
p.s. tieni presente che per l'appunto la convergenza si ha facilmente per confronto asintotico con 1/n^2 la qual sappiamo converge.

edit sono riuscita. Ho sbagliato a considerare separatamente i denominatori:blush dovevo raggruppare diversamente in n(n+1) e (n+1)(n+2) e (n+2)(n+3). Eheheh
grazie ciampax:hi
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, ok. Chiudo!
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