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  • Come calcolare il Dominio di questa funzione?E il valore(positivo, negativo) della funzione?

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Matissone
Matissone - Ominide - 25 Punti
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y= log(radice di x^2-7x+20 - radicex^2+4x+3)
________________________________________
2x-5- radice 6x+13

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Grazie davvero tanto.. :hi
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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[math] y= \frac{\log \( \sqrt{x^2-7x+20} - \sqrt{x^2 + 4x+2} \) }{2x-5- \sqrt{6x+13}} [/math]

Dominio :

abbiamo logaritmo, 3 radici ad indice pari e un denominatore

[math] \{ \sqrt{x^2-7x+20} - \sqrt{x^2+4x+2} > 0 \\ x^2-7x+20 \ge 0 \\ x^2+4x+2 \ge 0 \\ 6x+13 \ge 0 \\ 2x-5- \sqrt{6x+13} \no{=} 0 [/math]

Iniziamo dalla prima

[math] \sqrt{x^2-7x+20} > \sqrt{x^2+4x+2} [/math]

trattandosi di due radici, la prima sara' maggiore della seconda quando il radicando della prima sara' maggiore del secondo. Non ci preoccupiamo delle condizioni di esistenza della radice, perche' le discuteremo nella seconda e terza disequazione

[math] x^2-7x+20 > x^2+4x+2 \to -11x > -18 \to 11x<18 \to x< \frac{18}{11} [/math]

seconda disequazione

[math] x^2-7x+20 \ge 0 [/math]

risolvendo l'equazione associata trovi delta negativo, pertanto la disequazione e' sempre verificata

Terza disequazione

[math] x^2+4x+2 \ge 0 \to (x+2)^2 \ge 0 [/math]

dal momento che un quadrato e' sempre maggiore o uguale a zero,anche questa disequazione e' sempre verificata

quarta disequazione

[math] 6x \ge -13 \to x \ge - \frac{13}{6} [/math]

ultima equazione

[math] 2x-5 \no{=} \sqrt{6x+13} [/math]

elevo tutto al quadrato

[math] (2x-5)^2 \no{=} 6x+13 \to 4x^2-20x+25 \no{=} 6x+13 \to \\ \\ \\ \to 4x^2-26x+12 \no{=} 0 \to 2x^2-13x+6 \no{=} 0 [/math]

da cui

[math] x_{1,2} = \frac{13 \pm \sqrt{169-48}}{4} = \frac{13 \pm 11}{4} [/math]

e quindi

[math] x_1 = \frac12 \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = 6 [/math]

in sintesi il sistema si riduce a

[math] \{x< \frac{18}{11} \\ \forall x \in \mathbb{R} \\ \forall x \in \mathbb{R} \\ x \ge - \frac{13}{6} \\ x \no{=} \frac12 \ \ \ \ \ \ x \no{=} 6 [/math]

facendo il grafico otterrai (il valore x=6 e' maggiore di 18/11)

[math] - \frac{13}{6} \le x < \frac12 \ \ \ \ \cup \frac12 < x < \frac{18}{11} [/math]

e dunque il dominio

[math] \[ - \frac{13}{6} , \frac12 \) \cup \( \frac12 , \frac{18}{11} \) [/math]

.

Aggiunto 23 minuti più tardi:

Positivita'. Hai una frazione, pertanto dovrai discutere numeratore e denominatore.

cominciamo dal numeratore, riscrivendolo come:

[math] \sqrt{x^2-7x+20} - \sqrt{(x+2)^2} = \sqrt{x^2-7x+20} - |x+2| [/math]

e vediamo quando il valore assoluto opera e quando no.

Il valore assoluto e' inutile quando x+2>=0 ovvero x>=-2

opera invece quando x<-2

siccome nel dominio abbiamo entrambi i casi, dobbiamo studiare pertanto due numeratori diversi

[math] \{x<-2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} - (-(x+2)) [/math]
[math] \cup \{x \ge -2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} - (x+2) [/math]

Pertanto le disequazioni saranno

[math] \{x<-2 \\ \log \( \sqrt{x^2-7x+20} + x+2 \) > 0 [/math]
[math] \cup \{x \ge -2 \\ \log \( \sqrt{x^2-7x+20} - x - 2 \) > 0 [/math]

ovvero ricordando che 0 = log 1

[math] \{x<-2 \\ \log \( \sqrt{x^2-7x+20} + x+2 \) > \log 1 [/math]
[math] \cup \{x \ge -2 \\ \log \( \sqrt{x^2-7x+20} - x - 2 \) > \log 1 [/math]

e quindi eliminando i logaritmi

[math] \{x<-2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} + x+2 > 1 [/math]
[math] \cup \{x \ge -2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} - x - 2 > 1 [/math]

e dunque

[math] \{x<-2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} > -x-3 [/math]
[math] \cup \{x \ge -2 \\ \sqrt{x^2-7x+20} > x + 3 [/math]

Iniziamo dalla prima, ricordando come si risolve una disequazione irrazionale

[math] \{x<-2 \\ \{-x-3<0 \\ x^2-7x+20 \ge 0 \cup \{ -x-3 \ge 0 \\ x^2-7x+20 > (-x-3)^2 [/math]

ovvero

[math] \{x<-2 \\ \{x>-3 \\ \forall x \in \mathbb{R} \cup \{ x \le -3 \\ x^2-7x+20 > (-x-3)^2 [/math]

La seconda non la finisco, perche' siamo nel caso di x<= -3, non ammessa dal dominio.

Pertanto il numeratore (nel dominio) per x<-2 e' sempre positivo

Vediamo l'altro pezzo per x>= -2

[math] \{x \ge -2 \\ \{x+3<0 \\x^2-7x+20 \ge 0 \cup \{x + 3 \ge 0 \\ x^2-7x+20 > (x+3)^2 [/math]


Da cui

[math] \{ x \ge -2 \\ \{x<-3 \\ \forall x \in \mathbb{R} \cup \{ x \ge -3 \\ x^2-7x+20 > x^2+ 6 x +9 [/math]

da cui

[math] \{ x \ge -2 \\ \{x<-3 \\ \forall x \in \mathbb{R} \cup \{ x \ge -3 \\ x < \frac{11}{13} [/math]

la prima soluzione del sottosistema (x<-3 per ogni x...) non ha senso, perche' siamo in x>= -2.

La seconda ci dice invece che il numeratore e' positivo per
[math] -3 \le x < \frac{11}{13} [/math]
ma siccome siamo nel caso di x>=-2 il numeratore e' positivo per
[math] -2 \le x < \frac{11}{13} [/math]

Che unita alla prima soluzione, che ci diceva che per x<-2 il numeratore e' sempre positivo, ci dira' che

[math] N>0 \to x< \frac{11}{3} [/math]

(ovviamente ricordati il dominio!)

Denominatore > 0

[math] 2x-5- \sqrt{6x+13} > 0 \to \sqrt{6x+13} < 2x-5 [/math]

ricordando la soluzione delle disequazioni irrazionali del tipo
[math] \sqrt{p(x)} < q(x) [/math]
avremo
[math] \{6x+13 \ge 0 \\ 2x-5 > 0 \\ 6x+13 < (2x-5)^2 [/math]

Da cui

[math] \{ x \ge - \frac{13}{6} \\ x> \frac52 \\ 6x+13< (2x-5)^2 [/math]

non risolviamo tutto il sistema in quanto notiamo che le prime due soluzioni, ci limitano la soluzione a x>5/2

Quindi se questo sistema dovesse avere soluzioni, saranno comunque per x>5/2. E ricordando che il dominio arriva al massio a 18/11 non ci interessa.

Pertanto le soluzioni di questo sitema diranno (al massimo) che il denominatore e' positivo non prima di 5/2

quindi nel dominio il denominatore e' sempre negativo.

Pertanto avendo trovato che il numeratore e' positivo per x<11/13, il denominatore (nel dominio) e' sempre negativo, quindi la frazione sara' positiva per x>11/13

Nel dominio dunque sara' positiva in

[math] \frac{11}{13} < x < \frac{18}{11} [/math]

e negativa altrove (ovvero in
[math] - \frac{13}{6} \le x < \frac12 \cup \frac12 < x < \frac{11}{13} [/math]

Chi ti ha dato questo esercizio ti vuole proprio male ;)
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