lietta9212
lietta9212 - Sapiens Sapiens - 960 Punti
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geometria analitica: circonferenza ragazzi questa è la traccia del problema che non riesco a risolvere: data la circonferenza x^2 + y^2 -3x +4y -2=0 e la retta: y=mx+1, determinare "m" in modo ke la retta risulti tangente alla circonferenza

Aggiunto 20 ore 18 minuti più tardi:

ooooook grazie mille :)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ci sono diversi modi.

puoi ad esempio calcolare il raggio della circonferenza data:

[math] r= \sqrt{9/4+4+2}= \sqrt{ \frac{9+16+8}{4}} = \frac12 \sqrt{33} [/math]

E le coordinate del centro della circonferenza:

[math] C \( \frac32 , -2 \) [/math]

Scritta la retta in forma implicita:

[math] mx-y+1=0 [/math]

imponi che la distanza tra la retta e il centro sia uguale al raggio:

[math] \frac{|m( \frac32)+2+1|}{\sqrt{m^2+1}} = \frac12 \sqrt{33} [/math]

Da cui

[math] | \frac32 m + 3 |= \frac12 \sqrt{33}(m^2+1) [/math]

e quindi

[math] |3m+6|= \sqrt{33}m^2+ \sqrt{33} [/math]

Togliamo il valore assoluto e avremo:

[math] 3m+6= \pm (\sqrt{33}m^2+ \sqrt{33}) [/math]

e risolveremo le due equazioni:

[math] 3m+6= \sqrt{33}m^2+ \sqrt{33} \to \sqrt{33}m^2-3m-6+ \sqrt{33} [/math]

Ma i calcoli, come vedi, si fanno complessi.

Allora puoi optare per l'altro metodo:

metti a sistema circonferenza e retta:

[math] \{x^2+y^2-3x+4y-2=0 \\ y=mx+1 [/math]

Sostituisci la seconda nella prima:

[math] x^2+(mx+1)^2-3x+4(mx+1)-2=0 \to x^2+m^2x^2+2mx+1-3x+4mx+4-2=0 \to \\ \to x^2(m^2+1)+x(6m-3)+3=0 [/math]

siccome le soluzioni dell'equazione sono le due ascisse dei punti di intersezione, e siccome noi vogliamo che la retta sia tangente (e quindi intersechi la circonferenza in un punto solo e quindi vogliamo che l'ascissa del punto di intersezione sia uno ovvero due ascisse coincidenti) porremo il delta = 0

[math] \Delta = (6m-3)^2-4(m^2+1)(+3)=0 \to 36m^2-36m+9-12m^2-12=0 [/math]

che si risolve come una semplice equazione di secondo grado (in m)

[math] 24m^2-36m-3=0 \to 8m^2-12m-1=0 [/math]

Usando la ridotta:

[math] m= \frac{6 \pm \sqrt{36+8}}{8} \to m= \frac{6 \pm 2 \sqrt{11}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{11}}{4} [/math]

e pertanto le rette tangenti saranno

[math] y= \frac{3+ \sqrt{11}}{4}x+1 \\ y= \frac{3- \sqrt{11}}{4}x+1 [/math]


Spero di non aver fatto errori di conto
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