fra@fra
fra@fra - Erectus - 57 Punti
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Calcolare l'area dei triangoli isosceli inscritti nella circonferenza di centro C(-1,-2) e raggio 5 ed aventi per base la corda intercettata dalla retta x-2=0. Verificare che i triangoli suddetti formano un quadrilatero avente due angoli retti.


vi prego di scusarmi per ieri per aver postato più volte la stessa domanda ma ancora non so usare bene questo forum e non trovavo più le mie domande. non siate sempre così permalosi....
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Non e' questione di essere permalosi, se ti blocco una richiesta, devo motivare.
Se passa qualcun altro e vede la richiesta bloccata senza motivo, non sapendo che e' doppia, si chiede se sono impazzito o cosa..

Inoltre, visto che sei poco pratica, ricordati che se la risposta ti soddisfa, dare il voto ti fa riacquisire 5 punti :D

Detto questo, vediamo l'esercizio.

La circonferenza generica e'

[math] x^2+y^2+ax+by+c=0 [/math]

Le coordinate del centro (nel tuo caso noto) sono

[math] x_C= - \frac{a}{2} \to - \frac{a}{2}=-1 \to a=2 [/math]

[math] y_C= - \frac{b}{2} \to - \frac{b}{2}=-2 \to b=4 [/math]

Quindi la circonferenza sara'

[math] x^2+y^2+2x+4y+c=0 [/math]

Infine sappiamo che il raggio e' 5

Il raggio di una circonferenza e':

[math] \sqrt{ \( - \frac{a}{2} \)^2+ \( - \frac{b}{2} \)^2 - c} [/math]

Ovvero sinteticamente

[math] \sqrt{x_C^2+y_C^2-c} [/math]

E dunque, sapendo che il raggio e' 5

[math] \sqrt{(-1)^2+(-2)^2-c}=5 \to \sqrt{1+4-c}=5 [/math]

Eleviamo tutto al quadrato e abbiamo

[math] 5-c=25 \to c=-20 [/math]

La circonferenza e' dunque
[math] x^2+y^2+2x+4y-20=0 [/math]

I punti di intersezione tra circonferenza e retta sono la soluzione del sistema

[math] \{x^2+y^2+2x+4y-20=0 \\ x=2 [/math]

Da cui per sostituzione abbiamo

[math] 2^2+y^2+2 \cdot 2 +4y-20=0 \to \\ \to 4+y^2+4+4y-20=0 \to y^2+4y-12=0 [/math]

Da cui ricaviamo i valori di y (utilizzando la ridotta)

[math] \Delta=2^2+12=16 [/math]

E quindi
[math] y_{1,2}=-2 \pm \sqrt{16}=-2 \pm 4 [/math]

Dunque

[math] y_1=2 [/math]
e
[math] y_2=-6 [/math]

La retta dunque interseca la circonferenza nei punti
[math] A(2,2) \ \ B(2,-6) [/math]

Dobbiamo ora trovare i vertici del triangolo isoscele.

Sappiamo che i punti appartengono alla circonferenza e sono equidistanti dal punto A e dal punto B.

Se trovi il punto medio tra il punto A e il punto B, trovi il punto in cui cade l'altezza (relativa alla base AB) del triangolo isoscele.

L'altezza sai che e' perpendicolare alla base AB.

Il punto medio tra A e B, trattandosi di due punti che giacciono su una verticale (ricorda che hanno stessa ascissa) avra':

Stessa ascissa di A e di B (e quindi x=2)

Come ordinata la semisomma delle ordinate.

quindi, chiamando M il punto medio che stiamo cercando

[math] y_M= \frac{y_A+y_B}{2}= \frac{2-6}{2}=-2 [/math]

Il punto medio sara' dunque
[math] M(2,-2) [/math]

La perpendicolare alla retta AB sara' dunque
[math] y=-2 [/math]

Troviamo i punti di intersezione di questa retta con la circonferenza.

[math] \{ x^2+y^2+2x+4y-20=0 \\ y=-2 [/math]

Sostituiamo

[math] x^2+(-2)^2+2x+4(-2)-20=0 \to x^2+2x-24=0 [/math]

Da cui, sempre usando la ridotta

[math] x_{1,2}= -2 \pm \sqrt{1+24}=-2 \pm \sqrt{25}=-2 \pm 5 [/math]

Quindi i due vertici (che chiamiamo C e D) saranno

[math] C (3,-2) \ \ D(-7, -2) [/math]

A questo punto dobbiamo ancore verificare che il quadrilatero abbia due angoli retti.

I metodi qui sono molti.

Uno geometrico:

Sapendo che la retta perpendicolare ad una corda, passante per il suo punto medio, e' un diametro, sappiamo che i due triangoli che si formano (CAD e CBD) sono inscritti in una semicirconferenza di diametro DC e pertanto sono retti.

Analiticamente invece possiamo trovare le rette passanti per AC, AD, BC, BD e notare che le 4 rette hanno pendenze antireciproche a due a due.

Direi che le rette passanti per due punti, dovresti saperel trovare..
fra@fra
fra@fra - Erectus - 57 Punti
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scusa ma il secondo delta non dovrebbe venire 25???
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Si si, hai ragione :D

Ho corretto..
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