ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Tutti quanti conoscerete bene il noto Teorema di Pitagora il quale afferma che "In un triangolo rettangolo, la somma dei quadrati costruiti sui cateti equivale al quadrato costruito sull'ipotenusa" e che, guardando la figura allegata, può essere espresso algebricamente nella forma

[math]c^2=a^2+b^2[/math]

Pochi di voi conosceranno, tuttavia, il SECONDO TEOREMA DI PITAGORA, il cui enunciato è il seguente:
In un triangolo rettangolo, la somma dei cateti è congruente all'ipotenusa.
Tale teorema può esprimersi algebricamente al modo seguente
[math]c=a+b.[/math]

Vi pare strano? Bene, vi dimostro subito la verità di questo fatto:

Supponiamo di costruire la "scala"
[math]\{s_n\}[/math]
riportata in figura e, se i gradini sono in numero di
[math]n[/math]
chiamiamo
[math]a_k,\ k=1,\ldots,n[/math]
le alzate (cioè i segmentini verticali) e con
[math]b_k,\ k=1,\ldots,n[/math]
le pedate (cioè i segmentini orizzontali). Risulta ovvio che
[math]a=\sum_{k=1}^n a_k,\qquad\qquad b=\sum_{k=1}^n b_k,[/math]

mentre la lunghezza totale della scala, alzate più pedate, si esprime come

[math]s_n=\sum_{k=1}^n(a_k+b_k).[/math]

Osserviamo ora che, per
[math]n[/math]
sempre più grande, il numero di gradini tende ad aumentare così che la "scala" approssima sempre meglio l'ipotenusa. Al limite, per
[math]n\rightarrow+\infty[/math]
si ha che la scala coincide esattamente con l'ipotenusa, ma allora abbiamo la seguente identità
[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n=\lim_{n\rightarrow+\infty}\sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\lim_{n\rightarrow+\infty} (a+b)=a+b.[/math]

Da cui il Teorema!



Ovviamente, i due teoremi di Pitagora non possono essere entrambi veri. Ed è chiaro che il secondo è quello falso. Ma per quale motivo? Dove si trova l'errore nella dimostrazione? Aspetto le vostre risposte! Buon lavoro! :)


Edit: Sorry, l'immagine non si era caricata!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (18-04-09 03:09, 7 anni 7 mesi 25 giorni )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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l'approssimazione dell'ipotenusa dà solo un'illusione ottica che
[math] \lim_{n\to+\infty} \sum{k=1}^n (a_k + b_k) = c [/math]
e va a "nascondere" lo scarto totale.
più piccolo è un triangolo rettangolo, più la somma dei cateti sembra avvicinarsi a quella dell'ipotenusa, perchè l'errore e che si commette è sempre proporzionale alla lunghezza di a e b. ovviamente se ci sono n triangoli, l'errore diventa n*e

[math]
a+b = c+\eps \\
m \in N \\

\frac{a+b}{m} = \frac{c+\eps}{m} \\
\frac am + \frac bm = \frac cm + \frac{\eps}{m}

[/math]

se al posto di m si sostituisce
[math] n \to +\infty [/math]
, l'errore per un singolo triangolo diventa infinitesimo, il problema è che poi tale errore non deve essere trascurato quando si sommano gli n segmenti
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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L'intuizione è giusta.... ma non hai centrato il punto! :)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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bhè, tu non tieni conto di quegli errori, per quello poi ti torna un risultato sballato:
[math] \frac am + \frac bm = \frac cm [/math]
è un'approssimazione a meno di uno scarto infinitesimo dell'ipotenusa dell'n-esimo triangolo.. non saprei che altro dire
sqklaus
sqklaus - Genius - 8285 Punti
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contraddice uno dei teoremi ei euclide sui triangoli : in qualsiasi triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Forse non è chiara la mia domanda: io non vi chiedo perché il secondo Teorema è sbagliato, vi sto chiedendo cosa c'è di errato nella dimostrazione che ho fatto!

Quello che dice Xico è corretto.... ma dove sta quella cosa nella dimostrazione? E come viene applicata? E in che modo è errata? :)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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la scala è un'approssimazione in senso geometrico, ma non analitico. sbagli quando dici che approssima sempre meglio l'ipotenusa all'aumentare di n.
se avessi inteso l'approssimazione in senso analitico non avrebbe senso il limite, per quanto detto sopra
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, ci siamo quasi....
quindi da un punto di vista di operazioni matematiche che ho svolto, dove sta l'errore? In quale punto dei calcoli?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n[/math]
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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io ovviamente nn capisco nulla....ma ricordo di aver studiato che una condizione indispensable affinche dati tre valori questi possano essere lati del triangolo è chela somma si due lati sia superiore al terzo!!!!e l'uguaglianza b+c=a che hai scitto tu non soddisfa tal condizione...dal basso della mia ignoranza...questo è il mio parere!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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xico87:
[math]c=\lim_{n\rightarrow+\infty} s_n[/math]

Esatto. Ma cosa c'è di sbagliato? :)
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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f: {(a1+b1),...,(an+bn)} -> {c1,...,cn}

tutte le immagini di f sono dello stesso ordine di infinitesimo di ak e bk.
non hai dimostrato niente perchè per dimostrare l'uguaglianza "macroscopica" a+b = c devi dimostrare anche quella "microscopica" ak+bk = ck.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ok, ma questo in soldoni che significa? Cosa non posso fare?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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non puoi approssimare c per mezzo di una successione.. c'è per caso una correlazione con i diversi ordini di infinito di N ed R?
altro non mi viene in mente davvero, secondo me il punto cruciale era quello riguardante l'approssimazione che ho spiegato sopra
cinci
cinci - Mito - 35782 Punti
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Ma cosa è quella sigma con sotto i numeri e le lettere? Cosa è il
[math]lim[/math]
?
:hi

Pagine: 12

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