ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Il coefficiente binomiale è un utile oggetto matematico che permette di rispondere alla seguente questione

"Dati n oggetti, in quanti modi posso disporli se ne scelgo solo k di essi e considero come uguali tutte le disposizioni in cui si presentano gli stessi oggetti?"

Ad esempio, se abbiamo i numeri 1,2,3, tutte le loro possibili disposizioni sono le seguenti:

[math]k=1\qquad\qquad 1,\quad 2,\quad 3[/math]
[math]k=2\qquad\qquad 1,2,\quad 1,3,\quad 2,3[/math]
[math]k=3\qquad\qquad 1,2,3[/math]

poiché qualsiasi permutazione facciamo delle posizioni dei numeri, la disposizione rimane sempre la stessa. La formula che permette di calcolare tali combinazioni è quella che esprime il coefficiente binomiale di n su k ed è la seguente

[math]\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]

dove
[math]n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot\ldots\cdot(n-1)\cdot n[/math]
si dice fattoriale di n e rappresenta il prodotto dei primi n numeri naturali e, per convenzione, si pone 0!=1.
Detto questo, vi propongo il seguente quesito: quanto vale la seguente espressione

[math]\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]
?
Provateci e buon lavoro!

Questa risposta è stata cambiata da ciampax (18-04-09 03:08, 7 anni 7 mesi 22 giorni )
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Direi che fa
[math]2^n[/math]
:
sappiamo che
[math](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)a^k b^{n-k}[/math]

Ponendo
[math]a=b=1[/math]

[math](2)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Cherubino:
[math](a+b)^n = \sum_{k=0}^n \left(\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\right)a^k b^{n-k}[/math]


Visto che sei così bravo... la formula del Binomio di Newton la sai dimostrare? :)

P.S.: io conosco due dimostrazioni, una algebrica e una per mezzo dell'analisi!
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Ah ha,
la saprei "intuire", disegnando "alberi", senza pretesa di rigore,
come si faceva alle medie (o forse al liceo).
Però sono sicuro che in qualcuno dei libri che possiedo c'è almeno una dimostrazione formale.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Cherubino: Ah ha,
la saprei "intuire", disegnando "alberi", senza pretesa di rigore,
come si faceva alle medie (o forse al liceo).
Però sono sicuro che in qualcuno dei libri che possiedo c'è almeno una dimostrazione formale.

Mi sa che non la trovi così facilmente! :)
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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aiutoooooooooooooooo!!!!!!cosa mi aspetta all'università!!!!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma nuuuuuuuuuuuu......... provaci issima, è una cosa facilissima!
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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a fare che??nn so neanche cosa significano quegli sgorbi!
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Ma questi sgorbi non si studiano al liceo?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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No, Cherub, questi sgorbi al liceo non li studiano! :)
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