blood
blood - Genius - 24239 Punti
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salve ragazzi, da poco e iniziata la scuola, io devo andare in terzo superiore, ripensando al programma di matematica dell'anno scorso ho visto di avere un po di ruggine riguardo alle disequazioni di secondo grado...

le domande piu importanti che avrei da farvi sono le seguenti:

mi ricordo che per risolvere un disequazione di secondo grado devo scrivere l'equazione corrispondente e risolverla, una volta trovati i due zeri li pondo sulla " linea dei numeri?...

1)come devo mettere i segno + e-, per spiegarmi meglio quand'è ke li devo scrivere nella sequenza + - + oppure - + -?

2)se DELTA è minore di zero?

se non ricordo male è raro il caso in cui in una disequazione compaio l'insieme vuoto...qual'è?? e quand'è ke le soluzioni corrispondono a tutto l'insieme R


grazie x anticipatamente per tutti i chiarimenti che mi darete.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Per prima cosa ti consiglio di portarti sempre il coefficiente del termine di secondo grado positivo, in modo da dover capire solo 2 dei 4 casi che ti si possono presentare.

Cioe' se alla fine dei calcoli hai, ad esempio

[math] -2x^2+3x+5>0 [/math]

prima di risolverla cambia tutti i segni (e il verso della disequazione) portati il termine di c^2 (in questo caso -2) positivo

[math] 2x^2-3x-5<0 [/math]

Detto questo vediamo i due casi che ti si possono presentare (ovvero > o < )

ricordando che y=ax^2+bx+c e' una parabola con concavita' verso l'altro, gli zeri sono i punti di intersezione con l'asse x.

Una volta trovati i due zeri:

>0 prendi i valori "esterni" (se ti disegni una parabola con concavita' verso l'alto che interseca l'asse x in due punti, vedi che il pezzo di parabola che sta sopra l'asse e' il pezzo prima del punto con x piu' piccola (quello a sinistra) e dopo il punto con x piu' grande (quello a destra)

se il delta e' negativo, vuol dire che la parabola non tocca mai l'asse x, quindi sta tutta sopra, e allora la disequazione e' sempre verificata.

Se il delta e' uguale a zero, vuo dire che la parabola ha il vertice sull'asse, unico punto che dovrai escludere.

Attenzione al caso
[math] \ge 0 [/math]

Se il delta e' maggiore di zero, comprenderai anche gli estremi

se il delta e' minore di zero, nulla cambia (sta sempre sopra)

se il delta e' uguale a zero, andra' bene anche il vertice, quindi la soluzione sara' tutto R

<0 prendi i valori interni

se il delta e' negativo la parabola "sotto" non c'e' mai, quindi non hai soluzioni

se il delta e' zero, la parabola sta sempre sopra tranne il vertice, ma comunque sotto non c'e' mai, e pertanto anche in questo caso non hai soluzioni

Attenzione al caso
[math] \le 0 [/math]

se il delta e' zero la parabola sotto non sta mai, ma su zero si' (il vertice). Quindi l'uncia soluzione sara' proprio quel punto.

Se il delta e' maggiore di zero, allora oltre ai valori interni dovrai considerare anche gli estremi (ovvero gli zeri dell'equazione associata)

Se il delta e' minore di zero, nulla cambia, perche' la parabola sta comunque sempre "sopra"
blood
blood - Genius - 24239 Punti
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putroppo noi nn abbiamo mai introdotto il discorso della parabola....xcui mi è un po difficile capire, ad ogni modo io cerco di mettere positivo il termine con il valore ^2..nel grafichino ke facciamo noi i segni + vanno all'esterno e poi vedo quali intervalli prendere..
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Allora fai cosi':

una volta scritta la disequazione con il termine di secondo grado positivo, fai il grafico.

Segni i due valori
Poi fai una riga tratteggiata fino a quel valore e continua oltre
un'altra riga continua dal secondo valore in poi e tratteggiata prima.

Poi studi i segni.

Ti posto un esempio per tipo.

[math] -x^2-2x+3<0 [/math]

porti il coefficiente di x^2 positivo

[math] x^2+2x-3>0 [/math]

soluzioni dell'equazione associata:
[math]x_1=1 x_2=-3 [/math]

Grafico (il pallino vuoto O esclude gli zeri, dal momento che la disequazione e' in senso stretto)

______-3__________1__________
------------O____________________
-------------------------------O__________
           +                 -                      +

e quindi soluzioni:

[math] x<-3 \ U \ x>1 [/math]

Il grafico e' lo stesso per

[math] x^2+2x-3<0 [/math]

Che pero' avra' soluzione

[math] -3<x<1 [/math]

DELTA=0

Esempio

[math] x^2-2x+1 > 0 [/math]

[math] x_1=x_2=1 [/math]
(soluzione doppia)
GRAFICO

______________1_______________
-------------------------O_______________
-------------------------O_______________
         +                                      +

Pertanto, come vedi, e' sempre positiva tranne che in x=1

Soluzione

[math] x \ne 1 [/math]

Nel caso invece di

[math] x^2-2x+1<0 [/math]
Nessuna soluzione.
Delta minore di ZERO, vuol dire che la disequazione e' sempre positiva, e pertanto

[math] x^2+x+1>0 [/math]

Soluzione

[math] \forall x \in \mathbb{R} [/math]

[math] x^2+x+1<0 [/math]

MAI

Nel caso in cui tu abbia anche l'uguale:

[math] x^2+2x-3 \ge 0 [/math]

soluzioni dell'equazione associata:
[math]x_1=1 x_2=-3 [/math]

Grafico (la x comprende gli zeri, dal momento che la disequazione prevede anche l'uguaglianza)

______-3__________1__________
------------x____________________
-------------------------------x__________
           +                 -                      +

e quindi soluzioni:

[math] x \le -3 \ U \ x \ge 1 [/math]

Il grafico e' lo stesso per

[math] x^2+2x-3 \le 0 [/math]

Che pero' avra' soluzione

[math] -3 \le x \le 1 [/math]

DELTA=0

Esempio

[math] x^2-2x+1 \ge 0 [/math]

[math] x_1=x_2=1 [/math]
(soluzione doppia)
GRAFICO

______________1_______________
-------------------------x_______________
-------------------------x_______________
         +                                      +


Soluzione

[math] \forall x \in \mathbb{R} [/math]

Nel caso invece di

[math] x^2-2x+1 \le 0 [/math]

Allora, negativa mai, ma uguale a zero in 1, e dunque

Soluzione

[math] x=1 [/math]

Nulla cambia in caso di Delta minore di ZERO, vuol dire che la disequazione e' sempre positiva, e mai negativa o nulla.

RICORDATI CHE TUTTO QUELLO POSTATO QUI VALE SE IL COEFFICIENTE DI x^2 E' POSITIVO.
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