lucyrenzo
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Un carrello di massa m= 5 kg su muove senza attrito alla superficie della terra su un binario parabolico ad asse verticale. Sapendo che l'equazione della parabola è y=px^2, con x sull'asse orizzontale, dire che tipo di moto fa il carrello e trovarne il periodo ponendo p=1m^(-1).

A vostra completa spiegazione....ehm...disposizione.:blush
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Un moto parabolico 8)
Ma che strumenti posso usare? Se ti scrivo la soluzione con la lagrangiana la capisci?

Ovviamente posso usare anche metodi più semplici...

Edit: ti accontenti della frequenza delle piccole oscillazioni? Perché altrimenti il problema è veramente difficile.
lucyrenzo
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credo di si. Piccole oscillazioni considerando il carrello come la massa di un pendolo, giusto?

p.s. scusami se non ho inserito precedentemente un mess. di risposta.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Lo sai che è un casino sto coso? E che siamo stati due ore a parlarci sopra?

Non fare più sti scherzi! :)
lucyrenzo
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Cherubino, Ciampax sono davvero mortificata:cry. Purtroppo se fossi stata in grado, anche solo lontanamente, di fare una bozza del problema, del procedimenti, l'avrei fatto e proposto. Ma, ahimè, sono richieste che finora non ho incontrato nè a lezione, con spiegazioni del prof, nè su libri di testo (esercizi). Scusatemi davvero se approfitto della vostra bontà e pazienza. siete proprio degli :angel ( se non vi offendete, dal momento che siete maschietti...;)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Ma figurati! Anzi è un piacere. Senti, poi con calma te lo scrivo, ma prima devo capire se è possibile risolvero in qualche altro modo, anche se non credo lo sia!
lucyrenzo
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Grazie, ciampax:thx. Tranquilli. Non ho fretta. L'importante è che riesca a capire come svolgere problemi di questo tipo. ma non credo la soluzione sia molto ricercata: il mio prof non è il tipo da dare problemi complessi (perchè pochissime le esercitazioni svolte in aula):love
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Allora, ora che ho un po' di tempo ti scrivo la soluzione al problema.

Questo tipo di problema, nel quale un punto materiale con un solo grado di libertà è vincolato ad una curva differenziabile, si può risolvere semplicemente con la conservazione dell'energia.
Tale soluzione è più semplice che utilizzando le forze e le leggi della dinamica, poiché consente di "dribblare" le reazioni vincolari.

Per riuscire a scrivere l'energia cinetica e potenziale del punto, bisogna prima parametrizzare le coordinate; il sistema in studio ha un solo grado di libertà, ovvero è sufficiente una variabile per risalire alla posizione del punto: utilizzeremo la variabile x (ascissa) per parametrizzare la configurazione del sistema.
Poiché il carrello è vincolato ad una parabola di equazione y=px^2, la configurazione generale della posizione del sistema ha forma:
[math]\begin{cases}
x= x \\
y = p x^2
\end{cases}[/math]

a questo punto scriviamo le componenti della velocità, derivando rispetto al tempo (puntino sopra) le componenti del vettore posizione:
[math]\begin{cases}
v_x = \dot x \\
v_y = 2p x \dot x
\end{cases}[/math]

Il modulo del vettore velocità sarà quindi
[math]|\vec v|^2 = (\dot x)^2 (1 + 4p^2x^2)[/math]
e quindi l'energia cinetica sarà
[math]T = \frac 1 2 m (\dot x)^2 (1 + 4p^2x^2)[/math]

Mentre l'energia potenziale sarà
[math]U = mgy= mgp x^2[/math]

Il problema delle piccole oscillazioni consiste nel studiare il moto nelle prossimità di un minimo locale dell'energia potenziale (ovvero una regione di equilibrio stabile).
La posizione di equilibrio in questo caso è ovviamente x=0.

Si procede quindi
1- approssimando l'energia cinetica come funzione delle sole velocità, sostituendo le coordinate con quella del punto di equilibrio che si vuole studiare
2- approssimando l'energia potenziale come il polinomio di secondo grado (sviluppo in serie di Taylor) passante per il punto di equilibrio che si vuole studiare

Nel nostro caso
1- Si sostituisce x=0:
[math]T \sim \frac 1 2 m (\dot x)^2[/math]
2- Nel nostro caso, U è già un polinomio di secondo grado, quindi non si fa niente

A questo punto scriviamo la conservazione dell'energia come
[math]E = T + U = \frac 1 2 m (\dot x)^2 + mgp x^2[/math]
deriviamo entrambi i membri rispetto al tempo, ricordandoci che E è costante nel tempo (quindi la sua derivata è zero) e
[math]\frac d {dt} x = \dot x[/math]
,
[math]\frac d {dt} \dot x = \ddot x[/math]
:
[math]0 = m \dot x \ddot x + 2mgp x \dot x [/math]
semplifichiamo m e \dot x:

[math] \ddot x + 2gp x =0 [/math]

Questa è un'equazione differenziale lineare omogenea del secondo ordine (l'equazione di un oscillatore armonico), la cui soluzione è esprimibile madiante funzioni del tipo
[math]x(t) = A \sin (\omega t + \phi)[/math]

Sostituendo la soluzione di prova nell'equazione, si ha che
[math]\omega = \sqrt{2gp}[/math]
Questa è la frequenza delle piccole oscillazioni.
lucyrenzo
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Cherubino....:thx:thx:thx:thx non ho parole. Ho capito tutto lo svolgimento, e preso coscienza di quanto potesse effettivamente essere irraggiungibile grazie alle mie (in)capacità. Grazie di cuore a te( e ciampax!). Un abbraccio.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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lucyrenzo: siete proprio degli :angel

Con il nome che mi ritrovo non c'è da stupirsi...
cinci
cinci - Mito - 35782 Punti
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Spesso mi chiedo i diversi significati nascosti dietro ad un apparentemente innocuo nick come "Cherubino"...
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