miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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come si calcola la derivata di e^√x applicando la definizione??
e senza applicare la definizione?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, con la definizione hai, posto
[math]f(x)=e^{\sqrt{x}}[/math]
,
[math]\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{e^{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}-1}{h}=[/math]

(ricordando che
[math](1+t)^\alpha\sim 1+\alpha t,\ t\rightarrow 0[/math]
si ha
[math]\sqrt{x+h}=\sqrt{x}\cdot\sqrt{1+h/x}\sim\sqrt{x}(1+h/2x)[/math]
e quindi
[math]\sqrt{x+h}-\sqrt{x}\sim\sqrt{x}\cdot\frac{h}{2x}[/math]
)
[math]=e^{\sqrt{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{\sqrt{x}\cdot\frac{h}{2x}}-1}{h}=[/math]

(ricordando che
[math]e^{\alpha t}-1\sim \alpha t[/math]
si ha
[math]e^{\sqrt{x}\cdot\frac{h}{2x}}-1\sim\frac{\sqrt{x} h}{2x}=\frac{h}{2\sqrt{x}}[/math]
)
[math]=e^{\sqrt{x}}\cdot\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{h}{2\sqrt{x}}}{h}=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}},[/math]

che è la derivata cercata.

Se invece usi le regole di derivazione, basta usare la regola di derivazione delle funzioni composte pensando che
[math]f(x)=e^{g(x)}[/math]
con
[math]g(x)=\sqrt{x}[/math]
. Allora
[math]f'(x)=D(e^{g(x)})=e^{g(x)}\cdot D(g(x))=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}.[/math]
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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t ringrazio infinitamente!!!! ti giuro vorrei tanto avere la tua mente....grazie ancora
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Fidati, non ti conviene avere la mia mente! :asd

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