miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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come si calcola con la definizione questa derivata??

f(x)=(1-x) : (2x)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Chidendo "con la definizione" intendi calcolare il limite con il limite tendente a zero (dell'incremento) del rapporto incrementale?

Se e' cosi':

La derivata e' il rapporto incrementale per h--> 0

[math] \lim_{h \to 0} \frac { f(x+h)-f(x)}{h} [/math]

Essendo

[math] f(x)= \frac{1-x}{2x} [/math]

[math] f(x+h)= \frac{1-(x+h)}{2(x+h)} [/math]

Avremo

[math] \lim_{h \to 0} \frac { \frac{1-(x+h)}{2(x+h)}- \frac{1-x}{2x} }{h} [/math]

Eseguiamo un po' di conti:

[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{1-x-h}{2(x+h)}- \frac{1-x}{2x}}{h} [/math]

Il minimo comune multiplo tra
[math] 2(x+h)[/math]
e
[math] 2x [/math]
e'
[math] 2x(x+h) [/math]

e dunque

[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{x(1-x-h)-(1-x)(x+h)}{2x(x+h)}}{h} [/math]

esegui moltiplicazioni e somme di monomi simili e ottieni

[math] \lim_{h \to 0} \frac{ \frac{-h}{2x^2+2xh}}{h} [/math]

Semplifichi le due h e ottieni

[math] \lim_{h \to 0} - \frac{1}{2x^2+2xh} [/math]

per h-->0, 2xh=0

[math] = - \frac{1}{2x^2} [/math]

.
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