Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Buonasera.

Non riesco bene a capire la relazione che c'è tra il coefficiente binomiale, il Binomio di Newton, il Triangolo di Tartaglia e le potenze di 11.

La formula del Binomio di Newton è la seguente:

[math]\left ( a + b \right )^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^{k}[/math]

In particolare, il coefficiente binomiale è
[math]\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}[/math]

Il coefficiente binomiale rappresenta quindi le combinazioni di
[math]n[/math]
elementi di classe
[math]k[/math]
.
Il coefficiente binomiale, dal quale si ricavano tutti i coefficienti per una fissata potenza di binomio, ha una relazione con le righe e le colonne del triangolo di Tartaglia. Infatti nella n+1-esima riga del Triangolo di Tartaglia si trovano i coefficienti della potenza n-esima del binomio, che letti insieme formano le potenze di 11.

Ma per quale motivo si verifica ciò? Qual'è l'anello che collega tutto? Ho compreso tutti i concetti precedentemente citati, ma non riesco a collegarli insieme. Qualcuno potrebbe gentilmente darmi qualche delucidazione, cioè dirmi il motivo?

Mi domando:

1) Perché il coefficiente binomiale fornisce i coefficienti dei termini di un binomio? Perché proprio una combinazione?

2) Quale relazione c'è tra il binomio di Newton e il Triangolo di Tartaglia?

3) E che dire delle potenze di 11...?

P.S: Ma Tartaglia ha disegnato il triangolo con cognizione di causa? Nel senso: sapeva che c'erano delle connessioni con i binomi o lo ha creato solo per passatempo e solo i posteri (Newton & Company) han scoperto tale relazione?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Allora, mi fai una bellissima domanda. Partiamo con ordine (storico) e cioè dall'intuizione di Tartaglia: se tu hai una potenza di binomio, essa può scriversi in questa forma

[math](a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^n_k a^{n-k} b^k[/math]

Infatti Tartaglia osservò che ogni potenza di binomio è composta da n+1 termini ordinati secono le potenze crescenti del primo termine e quelle decrescenti del secondo, ciascuna moltiplicata per un coefficiente intero specifico (che qui ho indicato con
[math]C_k^n[/math]
dove l'n ad apice indica che si presenta nello sviluppo della potenza n-ima e la k a pedice che accompagna la potenza della forma
[math]a^{n-k} b^k[/math]
).
Tartaglia non dimostro che tali coefficienti erano pari ai valori del coefficiente binomiale, tuttavia intuì due importantissime proprietà di questi: la prima è che sono simmetrici, cioè che si ripetono allo stesso modo partendo dagli estremi (i termini in cui hai le potenze
[math]a^n[/math]
e
[math]b^n[/math]
), la seconda che essi sono correlati dalla seguente relazione
[math]C^{n+1}_k=C^n_{k-1}+C^n_k[/math]

cioè il coefficiente k-imo della potenza n+1 si ottiene sommando i coefficienti alle posizioni k-1 e k della potenza n-ima.

Come capì questo fatto? Semplicemente, iniziando a fare un po' di prodotti, e notando che i coefficienti venivano fuori per un processo di addizione: egli scrisse un po' di potenze

[math](a+b)^0=1[/math]
[math](a+b)^1=a+b[/math]
[math](a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2[/math]
[math](a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=a^2+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3=a^2+3a^2b+3ab^2+b^3[/math]

e così via, notando che le potenze della forma
[math]a^{n-k} b^k[/math]
avevano un coefficiente che si otteneva sommando quelli delle potenze precedenti come ti ho detto. Disponendo in righe distinte questi coefficienti, egli notò che la disposizione a triangolo per cui le righe si sovrapponevano negli spazi vuoti, permetteva di ottenere le cifre di una riga sommando gli elementi adiacenti della riga superiore. La dimostrazione precisa di questo fatto venne poi fatta da Girolamo cardano, con il metodo di induzione, ma è una rottura di scatole e te la risparmio.
Quello che invece fece Newton fu partire dalla formula che ti ho detto e sostituire in essa
[math]a=1,\ b=x[/math]
per ottenere
[math](1+x)^n=\sum_{k=0}^n C_k^n x^k[/math]

A questo punto Newton sfruttò la sua invenzione più geniale: la derivata per calcolare il valore dei coefficienti. Infatti (e lascio a te i calcoli, se ti va) si può vedere facilmente che

[math]\frac{d^h x^k}{dx^h}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & h>k\\ k(k-1)\cdots(k-h+1)\ x^{k-h} & & h\leq k
\end{array}\right.[/math]

che, utilizzando la notazzione del fattoriale
[math]n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots(n-1)\cdot n[/math]
può riscriversi come
[math]\frac{d^h x^k}{dx^h}=\left\{\begin{array}{lcl}
0 & & h>k\\ \frac{k!}{(k-h)!}\ x^{k-h} & & h\leq k
\end{array}\right.[/math]

A questo punto, posto
[math]f(x)=(1+x)^n[/math]
si può anche scrivere
[math]f^{(h)}(x)=\frac{d^h f(x)}{dx^h}=\sum_{k=h}^n C^n_k\ \frac{k!}{(k-h)!}\ x^{k-h}[/math]

e se
[math]x=0[/math]
nella precedente si ottiene
[math]f^{(h)}(0)=C^n_h\cdot h![/math]

D'altra parte

[math]f^{(h)}(x)=\frac{n!}{(n-h)!}\ (1+x)^{n-h}[/math]

per cui otteniamo l'identità

[math]\frac{n!}{(n-h)!}=h!\ C_h^n[/math]

da cui

[math]C_h^n=\frac{n!}{h! (n-h)!}=\left(\begin{array}{c} n\\ h\end{array}\right)[/math]

che è l'espressione dei coefficienti come binomiale.

Infine, fu Pascal (studioso di combinatoria) a comprendere il legame tra coefficienti binomiali e numero di combinazioni di n oggetti in k posti, utilizzando un metodo simile a quello che usò Tartaglia per capire come erano fatti questi coefficienti (ma che non sto a spiegarti, visto che non è il mio campo!)

Come vedi, questi tre individui studiarono situazioni simili, partendo da basi diverse e conclusero che tre oggetti, apparentemente slegati tra loro, erano in realtà la stessa cosa.
In matematica capita spesso che, qualcuno inventi un oggetto per un fine specifico e, secoli dopo, come in questo caso, si scopra che esso rappresenti una varietà infinita di oggetti.

Spero di aver soddisfatto la tua curiosità! :asd:
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Perdinci! Sì vede che conosci la matematica più delle tue tasche! Grazie!!!

Ancora non ho finito di leggere... voglio studiare per benino la tua risposta.
IPPLALA
IPPLALA - Mito - 101142 Punti
Rispondi Cita Salva
Beh è un prof ciampax, proprio di matematica!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Ippli, tesoro, specifica. Io sono un ricercatore universitario in matematica! :asd
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Ciampax: Ippli, tesoro, specifica. Io sono un ricercatore universitario in matematica!
Ho visto dal blog. Notevole! (Intendo sia professione sia Blog) :yes
(La modestia anche!) :lol <-- Scherzo!

La tua spiegazione della relazione tra Triangolo di Tartaglia e Binomio di Newton è perfetta. Adesso ho capito. Quindi sono due facce di una stessa medaglia... caduta sempre da un lato fino al 1500.

Spero di aver soddisfatto la tua curiosità! :asd:
Altroché! Grazie.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Ah, ma una cosa: perché ti interessavano tanto le potenze di 11?
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Mi interessava capire il perché i coefficienti binomiali corrispondono alle potenze di 11.

Infatti:

[math]n = 1 \rightarrow 11 \rightarrow 1a+1b[/math]

[math]n = 2 \rightarrow 11^2=121 \rightarrow 1a^2+2ab+1b^2[/math]

[math]n = 3 \rightarrow 11^3=1331 \rightarrow 1a^3+3a^2b+3ab^2+1b^3[/math]

E si può continuare all'infinito... solo bisogna ricordarsi di riportare i coefficienti maggiori di 9, altrimenti non funzionerebbe già da n=5.

Quindi invece di fare i calcoli a mano, basterebbe usare la calcolatrice per ottenere la potenza di 11 e scrivere subito la potenza di binomio.

Mentre un'altra cosa interessante riguarda le potenze di 2... infatti sommando i coefficienti di una stessa riga si ottiene una potenza di 2.

[math]n = 1 \rightarrow 1+1 = 2^1[/math]

[math]n = 2 \rightarrow 1+2+1=2^2[/math]

[math]n = 3 \rightarrow 1+3+3+1=2^3[/math]
-----------------------------------------------------------------------------------

Un'altro problema: perché chi scrive i libri di matematica non spiega mai in modo completo?

Il mio professore di matematica ha accennato qualche nozione sul calcolo combinatorio e sul binomio di Newton. Io, però, mosso da curiosità, ho comprato un libro sul calcolo infinitesimale e sull'algebra lineare... dove è presente tutto il programma del primo semestre (tra cui il calcolo combinatorio)... beh... in questo libro ci sono meno informazioni che nella mini dispenza/condensata del mio professore (oltre ad aver azzerato quasi i miei liquidi, ma questo è un'altro discorso), ma non basta...
Dopo aver definito cosa sono le combinazioni e i coefficienti binomiali, il libro mi propone il seguente esercizio:

Risolvere l'equazione:
[math]4\binom{x}{4}=15\binom{x-2}{3}[/math]
con
[math]x \in \mathbb{N}[/math]

Ovviamente non è stato spiegato il modo in cui risolverle, né è scritta la soluzione dell'esercizio per fare un confronto. L'esercizio sopra citato potrebbe essere anche facilissimo, ma se non mi si spiega con un esempio come risolvere un'equazione simile, come si può pensare che io ci riesca? E come questo ce ne saranno più avanti molti altri...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
Rispondi Cita Salva
Bé, il motivo per cui hai che le potenze di 11 riscrivono i coefficienti è banale: poiché 11=10+1 segue che

[math](10+1)^n=\sum_{k=0}^n C_k^n 10^k=C_0^n+10 C_1^n+\ldots+10^n C_n^n[/math]

che (se tutti i coefficienti fossero ad una cifra) sarebbe la decomposizione decimale (quella che si fa alle scuole elementari) delle potenze di 11. :asd


Per quanto riguarda la combinatoria, o il fatto che i libri sono incompleti, posso dirti due cose. 1) bisogna vedere qual'è l'argomento principale del libro. La combinatoria rientra nell'analisi solo marginalmente. prova a prende un libro di geometria finita o di matematica discreta, allora sì avrai da sbizzarrirti. 2) bisogna vedere chi scrive il libro. Il fatto è che uno può essere bravissimo a capire la matematica, ma incapace a spiegarla. Non è detto che tutti i geni siano capaci di spiegare (con la chiarezza che hanno in testa) le cose agli altri!

Per quanto riguarda l'equazione che hai scritto, non ti spiegano come risolverla semplicemente perché non ce ne è bisogno. Si suppone che uno studente universitario, basandosi sulle definizioni, comprenda che per risolvere una simile equazione deve rifarsi alla definizione di coefficineti binomiali. Prova! (P.S.: e a mio parere, mettere le soluzioni agli esercizi fa più male che bene!)
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Ciampax: Bé, il motivo per cui hai che le potenze di 11 riscrivono i coefficienti è banale: poiché 11=10+1 segue che

[math](10+1)^n=\sum_{k=0}^n C_k^n 10^k=C_0^n+10 C_1^n+\ldots+10^n C_n^n[/math]

che (se tutti i coefficienti fossero ad una cifra) sarebbe la decomposizione decimale (quella che si fa alle scuole elementari) delle potenze di 11. :asd
Banale? Sarà! Io sono un comune mortale, iscritto al primo anno di Università, che con la matematica all'inizio cerca di fare amicizia e alla fine conclude con una s****ttata. (Purtroppo i rounds sono vinti sempre dalla matematica).

Pur leggendo la formula che hai scritto sopra, non riesco a capire. Non credo di essere veramente stupido, però sono sicuro di non aver intuito nella matematica (ci sono persone che riescono a capire al volo un determinato concetto matematico, altre che hanno bisogno del supporto dei numeri (un qualcosa di più concreto) e ci mettono più tempo per afferrare il significato: io rientro nella seconda categoria di persone).

Ciampax: Per quanto riguarda la combinatoria, o il fatto che i libri sono incompleti, posso dirti due cose. 1) bisogna vedere qual'è l'argomento principale del libro. La combinatoria rientra nell'analisi solo marginalmente. prova a prende un libro di geometria finita o di matematica discreta, allora sì avrai da sbizzarrirti. 2) bisogna vedere chi scrive il libro. Il fatto è che uno può essere bravissimo a capire la matematica, ma incapace a spiegarla. Non è detto che tutti i geni siano capaci di spiegare (con la chiarezza che hanno in testa) le cose agli altri!
In effetti gli obiettivi del libro sono il calcolo infinitesimale e l'algebra lineare.


Ciampax: Per quanto riguarda l'equazione che hai scritto, non ti spiegano come risolverla semplicemente perché non ce ne è bisogno. Si suppone che uno studente universitario, basandosi sulle definizioni, comprenda che per risolvere una simile equazione deve rifarsi alla definizione di coefficienti binomiali. Prova! (P.S.: e a mio parere, mettere le soluzioni agli esercizi fa più male che bene!)

Ho provato in vari modi ma non ho concluso nulla... ora scrivo i passaggi (non rabbrividire davanti alle mie scempiaggini, ti prego).

Da ora in avanti userò questo bellissimo programma per LaTeX
(ne sto scrivendo uno simile in PHP.... almeno di informatica qualcosa sò - magra consolazione :pp):

Online LaTeX Equation Editor

Testo esercizio:



Poiché:



Allora:



Ma inserire dei numeri non mi sembra possa essere utile.

:cry

Che faccio ora? Ci dovrebbe essere qualche proprietà dei coefficienti binomiali, del tipo:



Però non mi sembra si possano applicare in questo caso.

Maledizione! L'equazione mi ha fatto finire l'acino d'uva che stavo mangiando di traverso!


P.S: Per le soluzioni, dipende da come le si sfrutta. Se le si legge prima di risolvere un problema oppure alle prime difficoltà, esse possono essere dannose (perché si cercherà di risolvere l'esercizio facendo i passaggi a ritroso, partendo dalla soluzione), se invece le si utilizza come confronto dopo vari tentativi, possono essere di supporto (altrimenti dovrei avere sempre qualcuno che mi dica che il mio metodo di risolvere gli esercizi è corretto... il ché non è sempre possibile).
imperatorboy
imperatorboy - Sapiens - 380 Punti
Rispondi Cita Salva
http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_binomiale
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
Ti ringrazio per il link, Imperatorboy. ;) Anche se le proprietà che servono le ho già sul libro. Il fatto è che non mi viene in mente niente per risolvere l'equazione usando le proprietà dei coefficienti binomiali.
imperatorboy
imperatorboy - Sapiens - 380 Punti
Rispondi Cita Salva
Allora devi provare ad applicarti... prova a vedere degli esempi sul libro.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
Rispondi Cita Salva
Non ricordo benissimo il calcolo combinatorio, pero' prova a ricordare che

[math] x!=x(x-1)!=x(x-1)(x-2)! [/math]

vedrai che molte cose si semplificano..

(Esempio..

[math] 4 \frac{...}{4 \cdot 3!} [/math]

il 4 se ne va e il 3! che si presenta da entrambe le parti, anche..)

Attento solo alle soluzioni, perche' direi che una non e' accettabile..
Incognita X
Incognita X - Sapiens Sapiens - 1643 Punti
Rispondi Cita Salva
BIT5:
[math] x!=x(x-1)!=x(x-1)(x-2)! [/math]

Attento solo alle soluzioni, perche' direi che una non e' accettabile..

E' vero! Grazie. In matematica bisognerebbe ricordarsi sempre tutto e avere grande intuizione... io non ci avrei mai pensato! :yes

Ora provo e scrivo i risultati qui.

EDIT: Però mi sorge un dubbio. Potrei scrivere
[math]x![/math]
in modo ricorsivo solo se conoscessimo il valore di
[math]x[/math]
. Perché se essa fosse zero, così facendo finiremmo col moltiplicare per
[math]-1![/math]
che non è definito. Giusto?
E sempre seguendo questo ragionamento, io imposterei anche la condizione di esistenza:

[math](x-4)!\geq0![/math]

Prima di semplificare i numeri io cercherei di "impastare" l'equazione letterale e "cuocerla" a puntino. Ho perso la ricetta purtroppo... Secondo me la proprietà utile nel mio caso è da cercarsi proprio nel Triangolo di Tartaglia.

Pagine: 12

Come guadagno Punti nel Forum? Leggi la guida completa
In evidenza
Classifica Mensile
Vincitori di novembre
Vincitori di novembre

Come partecipare? | Classifica Community

Community Live

Partecipa alla Community e scala la classifica

Vai al Forum | Invia appunti | Vai alla classifica

mc2

mc2 Genius 208 Punti

Comm. Leader
manliogrossi

manliogrossi Blogger 2729 Punti

VIP
Registrati via email