pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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Per quale valore reale di n la funzione

y = [x^(n^2) + 3]/ [nx^2 + 1]

ha un'asintoto obliquo e due verticali?? come potrei iniziare??
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, la funzione è

[math]f(x)=\frac{x^{n^2}+3}{n x^2+1}[/math]

giusto?
pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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si la funzione è quella..
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Cominciamo col dire che la funzione è razionale fratta: questo implica che, per avere asintoti verticali, debba avere punti in cui si annulla il denominatore. Ne segue che, volendo 2 asintoti verticali, l'equazione

[math]n x^2+1=0[/math]

deve avere 2 soluzioni. Essendo
[math]x=\pm\sqrt{-\frac{1}{n}}[/math]
le radici, affinché esse sistano deve essere
[math]n<0[/math]
.
Per l'asintoto obliquo, invece, deve verificarsi che esista finito e diverso da 0 il seguente limite:

[math]m=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n^2}+3}{x(nx^2+1)}=[/math]

usando il fatto che all'infinito prevalgono solo le potenze più grandi

[math]=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n^2}}{nx^3}=\frac{1}{n}\lim_{x\rightarrow\infty} x^{n^2-3}[/math]

L'ultimo limite esiste finito e diverso da 0 solo quando l'esponente è uguale a zero (se è maggiore di zero viene infinito e se è minore di zero viene 0), per cui devi porre

[math]n^2-3=0\quad\Rightarrow\quad n=\pm\sqrt{3}[/math]

e ancora, ricordando che devi scegliere i valori negativi, l'unica possibilità è
[math]n=-\sqrt{3}[/math]
.
La funzione risulta allora

[math]f(x)=\frac{x^3+3}{1-\sqrt{3}\, x^2}[/math]
,
ha asintoti verticali nelle rette

[math]x=\pm\sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\pm\frac{1}{\sqrt[4]{3}}[/math]

ed avendosi
[math]m=-\frac{1}{\sqrt{3}}[/math]
da cui
[math]q=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[f(x)-mx\right]=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\frac{x^3+3}{1-\sqrt{3}\, x^2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\, x\right]=\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\frac{x^3+3+x-x^3}{\sqrt{3}(1-\sqrt{3}\, x^2)}\right]=\\
\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\frac{3+x}{\sqrt{3}(1-\sqrt{3}\, x^2)}\right]=
\lim_{x\rightarrow\infty}\left[\frac{x}{-3x^2)}\right]=0[/math]

l'asintoto obliquo risulta

[math]y=-\frac{1}{\sqrt{3}}\, x[/math]
.
Spero sia chiaro.
jennyv
jennyv - Erectus - 140 Punti
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ciao, scusate se mi intrometto nella discussione. stavo guardando l'esercizio non ho capito questo passaggio
" usando il fatto che all'infinito prevalgono solo le potenze più grandi

[math]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^{n^2}}{nx^3}=\frac{1}{n}\lim_{x\rightarrow\infty} x^{n^2-3}[/math]
"
perchè bisogna scrivere
[math]n^2-3[/math]
? grazie mille.
(scusate, non riesco a scrivere in latex..in pratica non ho capito il passaggio in cui ciampax dice che usando il fatto che all'infinito prevalgono solo le potenze + grandi, si scrive
[math]\lim_{x\right \infty} x ^ {n^2-3}[/math]
).

Questa risposta è stata cambiata da the.track (08-12-09 14:01, 7 anni 3 giorni )
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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(Te l'ho sistemato. :) ) Scusate l'intrusione. Bastava che racchiudessi il codice nei tags:
[math][/math]

:)
pikkola91
pikkola91 - Sapiens - 384 Punti
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non ho capito perchè all'infinito prevalgono solo le potenze più grandi
?? in quel caso al numeratore vi è x^(n^2)/x^3 quindi l'infinito più grande non dovrebbe essere al denominatore quindi risultare 0 il limite? non ho capito perchè risulta 1/n.. perchè quando ci sono due x dello stesso grado si fa il rapporto tra i coefficenti e in questo caso non si sa quanto è il numeratore?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora: quando si calcola il limite per x che tende all'infinito di un polinomio, quello che va considerata è sempre la potenza più grande presente nel polinomio stesso. Infatti, all'infinito, il quadrato cresce più della x, il cubo più del quadrato, ecc ecc...

Quando si lavora con le frazioni, allora, basta considerare a numeratore e denominatore le potenze più grandi e calcolare il rapporto di tali potenze. Quindi, come dicevo nell'esercizio, basta calcolare il rapporto tra

[math]x^{n^2}[/math]
e
[math]nx^3[/math]

che vale, utilizzando la regola per le potenze per cui
[math]x^a : x^b=x^{a-b}[/math]

[math]\frac{x^{n^2}}{n x^3}=\frac{1}{n}\cdot x^{n^2-3}[/math]

Ora, quello che si ha ad esponente varia al variare di n: se è positivo allora hai infinito elevato ad un numero positivo che fa infinito. Se è negativo, hai infinito elevato ad un numero negativo che fa 0. Infine, se l'esponente è uguale a zero, la x non è più presente, e quindi il limite è uguale al valore
[math]1/n[/math]
.
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