miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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Salve a tutti. Ho ancora qualche problema con i numeri complessi. Oggi il problema è che non riesco a risolvere ( almeno in parte) queste 2 equazioni:

[math]|z-i||z|=|z-i|^2 [/math]

[math] z^4=8 \bar{z} [/math]

Qualcuno potrebbe darmi una mano?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Basta sostituire
[math]z=x+iy[/math]
. Prima però, puoi semplificare un po' di cose: nella prima scrivi
[math]|z-i|\cdot|z|-|z-i|^2=0\ \Rightarrow\ |z-i|\cdot(|z|-|z-i|)=0[/math]

A questo punto la prima ti dice che

[math]|z-i|=0\ \Leftrightarrow\ z-i=0\ \Leftrightarrow\ z=i[/math]

Per l'altra hai

[math]|z|=|z-i|\ \Rightarrow\ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(y-1)^2}[/math]

e quindi l'equazione

[math]x^2+y^2=x^2+y^2-2y+1\ \Rightarrow\ 2y=1\ \Rightarrow\ y=\frac{1}{2}[/math]

Le soluzioni della prima equazione sono pertanto

[math]z=i,\qquad z=\alpha+\frac{i}{2},\quad\alpha\in\mathbb{R}[/math]


Per la seconda, ti giuro, ho provato in utti i modi a risolverla senza usare la forma esponenziale, ma non riuscirai mai a trovare le soluzioni se non usi questo metodo (che, peraltro, ti permette di trovare le soluzioni in 3 passaggi!)
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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nono adesso posso usarla la forma esponenziale !!! è che c sono diversi esercizi tipo al seconda e non so come risolverli. Cmq grazie per la prima, solo una domanda: è sbaglia semplificate il modulo con il modulo di z-i al primo membro con quello al secondo??? inoltre perchè hai messo quella a come parte reale della seconda soluzione? non dovrebbe essere solo z=i/2 ?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Se semplifichi perdi soluzioni!!!!!!!!!!!!!!

Se risolvi l'equazione
[math]x^3=x[/math]
non puoi semplificare ma devi raccogliere portando tutto da una parte, idem in quel caso.
La seconda soluzione viene così perché, se osservi, nell'equazione risolutiva non hai nessuna condizione sulle x. Questo vuol dire che puo scegliere la x come ti pare in infiniti modi e quindi hai infinite soluzioni di quella forma. Fai una prova sostituendo valori diversi di
[math]\alpha[/math]

Per l'ultimo esercizio, se
[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]
allora
[math]\rho^4 e^{i4\theta}=8\rho e^{-i\theta}[/math]

Ora, una soluzione è
[math]\rho=0[/math]
, mentre, se
[math]\rho\neq 0[/math]
, semplificando ottieni
[math]\rho^3 e^{i4\theta}=8 e^{-i\theta}\ \Rightarrow\ \rho^3 e^{i5\theta}=8[/math]

Poiché
[math]|e^{i\alpha}|=1[/math]
per ogni
[math]\alpha[/math]
, se fai il modulo della precedente equazioni trovi che
[math]\rho^3=8[/math]
e quindi
[math]\rho=2[/math]
. A questo punto, l'equazione si riduce a
[math]e^{i5\theta}=1[/math]

o anche

[math]\cos(5\theta)+i\sin(5\theta)=1[/math]

Ne segue

[math]\cos(5\theta)=1,\qquad \sin(5\theta)=0[/math]

e quindi

[math]5\theta=2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}[/math]

da cui

[math]\theta=\frac{2k\pi}{5},\qquad k=0,\ldots,4[/math]

(con altre scelte, gli angoli si ripetono). Le soluzioni sono allora della forma

[math]z_k=2\cdot e^{2ik\pi/5},\qquad k=0,\ldots,4[/math]

Se vuoi puoi provare a scriverli in forma cartesiana, ma ti assicuro che è una rottura di scatole senza fine. :asd
miik91
miik91 - Sapiens Sapiens - 811 Punti
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ok grazie mille va benissimo così. Ora provo a farne qualcun altro dello stesso tipo e vedo se c riesco.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Perfetto.
chiudo..
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