giulietta_s
giulietta_s - Erectus - 90 Punti
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la professoressa ha assegnato per casa due studi di funzione, una logaritmica e una sotto radice!io purtroppo ero assente alla spiegazione per motivi di salute!
ho provato a svolgerle un milione di volte, però purtroppo mi mancano gli appunti!
per ora da solo so svolgere studi di funzione semplice, ovvero razionali intere. Volevo chiedervi un aiuto nello svolgimento per riuscire almeno a capire i passaggi, grazie!
le funzione sono 1):
studio completo di f(x)=
[math]x/logx[/math]

2)f(x)=|x|
[math]\sqrt{x+1}[/math]
a)studiare la continuità in x=0
b)studiare, tramite i rapporti incrementali, la derivabilità in x=0
c)scrivere l'equazione della tangente o delle tangenti in x=0
d)dire di ch tipo è la singolarità nel punto x=0
issima90
issima90 - Genius - 18666 Punti
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cosa non riesci a fare?conosci i passaggi dello studio di funzione??
giulietta_s
giulietta_s - Erectus - 90 Punti
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si i passaggi dello studio di funzione li conosco...però non riesco ad applicarli questo tipo di funzione. Trovo molta difficoltà,con le funzione logaritmica e per quanto riguarda la seconda non capisco se
[math]\sqrt{x+1}[/math]
lo devo trattare come il dominio oppure vale per ogni x apprtenente a R
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Dominio delle funzioni:

La prima: hai una frazione (che impone denominatore diverso da 0) e il logaritmo (che impone argomento >0)

Quindi il dominio dovra' essere

[math] \{ \log x \ne 0 \\ x>0 [/math]

e dunque

[math] \{ x \ne 1 \\ x> 0 [/math]

[math] D: (0,1) \ U \ (1, + \infty) [/math]

La funzione non sara' ne' pari ne' dispari, dal momento che e' definita da 0 in poi (con il punto di discontinuita')

Intersezione con gli assi: x=0 non ammesso

y=0 dara' x=0 non ammesso. Quindi la funzione non ha intersezioni

Positivita'

[math] \frac{x}{\log x} > 0 [/math]

[math] N: x>0 [/math]

[math] D: \log x>0 \to x>1 [/math]

e dunque

[math] f(x)>0 : x>1 [/math]

Limiti:

[math] \lim_{x \to 0^+} f(x)= \frac{0^+}{- \infty} = 0^- [/math]

[math] \lim_{x \to 1^-} f(x)= \frac{1}{0^-}=- \infty [/math]

[math] \lim_{x \to 1^+} f(x)= \frac{1}{0^+}= + \infty [/math]

[math] \lim_{x \to + \infty} f(x)= \frac{+ \infty}{+ \infty}=+ \infty [/math]

Studio della derivata prima (crescenza della funzione)

[math] f'(x)= \frac {\log x- \frac{1}{x}x}{\log^2 x}= \frac{\log x-1}{ \log^2 x} [/math]

[math] f'(x)>0 [/math]

[math] N>0: \ \log x-1>0 \to \log x>1 \to \log x>\log e \to x>e [/math]

[math] D>0: \log^2 x>0 \to \forall x \in D [/math]

E dunque (ricordando il dominio)

[math] f'(x)>0 : x>e [/math]

E quindi nel punto
[math] (e,e) [/math]
abbiamo un punto di minimo relativo
[math] f(e)= \frac{e}{\log e}= \frac{e}{1} = e [/math]

Fino a qui e' chiaro?
giulietta_s
giulietta_s - Erectus - 90 Punti
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si fino a qua ho capito..grazie mille
spieghi molto bene!:)
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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derivata seconda:

[math] f''(x)= \frac{ \frac{1}{x} \log^2 x - (2 \log x \frac{1}{x})( \log x - 1)}{\log^4 x} [/math]

E quindi, raccogliendo al numeratore a fattore comune

[math] \frac{ \frac{1}{x} \log x ( \log x -2 \log x +2)}{\log^4 x} [/math]

[math] \frac{ \frac{1}{x}(- \log x +2)}{\log^3 x} [/math]

[math] \frac{- \log x + 2}{x \log^3 x} [/math]

Numeratore > 0

[math] - \log x +2 > 0 \to \log x<2 \to \log x< \log e^2 \to x<e^2[/math]

Denominatore

Primo fattore:
[math] x>0 [/math]

Secondo fattore

[math] \log^3 x>0 \to \log x>0 \to x>1 [/math]

Quindi

[math] D>0 : x>1 [/math]
(sempre perche' x<0 non appartiene al dominio)
La derivata seconda e' positiva, quindi, per

[math] 1<x<e^2 [/math]

Quindi

[math] f(e^2)= \frac{e^2}{\log e^2} = \frac{e^2}{2} [/math]

Aggiunto 7 minuti più tardi:

Guarda, c'è qualcosa che non va, ma non trovo l'errore
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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La derivata seconda è venuta così anche a me e l'ho rifatta per un paio di volte...

dall'analisi della derivata prima la funzione è decrescente per
[math]x<e[/math]
, ha il minimo in
[math] m \;(e,e)[/math]
e poi cresce per
[math]x>e[/math]
.
Però la derivata seconda ( sempre ammesso sia giusta) ci dice che la funzione cambia concavità per due volte: una per
[math]x=1[/math]
e l'altra per
[math]x=e^2[/math]
... e non riesco a capire come faccia ad esistere il secondo flesso se la funzione è sempre crescente per
[math]x>e[/math]
...
come Bit non riesco a trovare l'errore...
giulietta_s
giulietta_s - Erectus - 90 Punti
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scusate una volta fatto lo studio del segno della derivata seconda non dovrebbe risultare :
convessa in (1,
[math]e^2)[/math]
concava in (0,1) U (
[math]e^2 + [/math]
infinito)
poi a questo punto non devo fare il grafico risolutivo?
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Si, ma teoricamente la curva non dovrebbe cambiare concavita' in e^2..
E' li' il problema.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Scusate, ma che state a dire? La Funzione non è definita in
[math]x=1[/math]
, quindi non è che ci sia un flesso! La concavità cambia perché tra 0 e 1 è rivolta verso il basso, tra 1 ed
[math]e^2[/math]
verso l'alto ed in
[math]e^2[/math]
c'è il flesso. Non capisco cosa non vi torni! :asd
Comunque, il grafico è questo.
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Ok.
Ero convinto che la curva non cambiasse concavita' di nuovo..

Perfetto.
giulietta_s
giulietta_s - Erectus - 90 Punti
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grazie mille per l'aiuto ^__^
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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prego..

Chiudo!
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