pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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ciau a tutti....allora ho da fare un es sulle derivate, mi da da trovare 3 parametri (a,b,c) con ovviamente 3 condizioni
la funzione deve essere continua, derivabile e derviabile 2 volte.

per le prime 2 condizioni tutto Ok..x la 3...qualcuno mi saprebbe dare delucidazioni???

grazie colleghi :)

ciauuuuuuu!

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (17-12-08 19:25, 7 anni 11 mesi 29 giorni )
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Imponi che la derivata seconda (la derivata della derivata) della funzione sia continua,
ovvero che in ogni punto del dominio la derivata seconda da destra sia uguale alla derivata seconda da sinistra.
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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......mmm..ma mica abbiamo fatto le derivate seconde..
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Ma ti arrendi per così poco?
La derivata seconda è semplicemente la derivata della derivata!

Vuoi un esempio?

f(x) = x^5 + x
f'(x) = 5 x^4 + 1
f''(x) = 20 x^3
f'''(x) = 60 x^2
f''''(x) = 120 x
f'''''(x) = 120
f''''''(x) = 0

La derivata di una funzione è una funzione, quindi può essere derivata.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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MMMMMM.... Sinceramente c'è qualcosa che non mi torna. Spiego.
Se una funzione è derivabile 2 volte in tutti i punti del suo dominio, allora è anche derivabile 1 volta in tutti i punti e quindi anche continua. Ne segue che se prendi una qualsiasi funzione derivabile 2 volte, ad esempio

[math] y=a x^2+bx+c[/math]

con a,b,c costanti reali il gioco è fatto. Non capisco cosa ci sia da fare in questo esercizio... Magari si richiede che la funzione abbia una forma particolare? (Ad esempio, sia razionale fratta?)

Fammi sapere.

P.S.: in ogni caso, ciò che dice Cherub è corretto, cioè la derivate di ordine n sono semplicemente le derivate prime delle derivate di ordine n-1, e quindi la derivata seconda altro non è che la derivata della derivata prima!
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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allora
l'esercizio è:

y=ln(x^2+1) ---> x<=0

y=ax^2+bx+c ---> x>0

mi dava le tre condizioni, di cui sono riusicta a risolverne solo 2 (continuità e dervibalità), ottenendo c=0 e b=0.. mi manca la 3 condizione (--> dovrebbe uscire a=1)
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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mmmmm....... continuo a non capire l'esercizio. Mi spieghi che significano quelle freccette e quei maggiore di zero ecc.?
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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insomma in parole povere è tutta una funzione, dove quella di ln è definita in x<0 e l'altra in x>0..

[math]f(x) = \begin{cases}ln(x^2+1) & x \le 0\\
\a(x)^2+bx+c & x > 0\\end{cases}[/math]
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAHHHHHHHHHHHHHHHH.....

Mo sì! Allora la funzione è

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\log(x^2+1) & & x\leq 0\\
& & \\
ax^2+bx+c & & x>0
\end{array}\right.[/math]

Prima cosa, determiniamo la condizione di continuità: questo vuol dire che i limiti destro e sinistro, in 0, coincidono. Quindi

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=\log 1=0\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=c[/math]

e quindi la condizione
[math]c=0[/math]
. Per la condizione di derivabilità osserva che la derivata della funzione è
[math]f'(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\frac{2x}{x^2+1} & & x\leq 0\\
& & \\
2ax+b & & x>0
\end{array}\right.[/math]

Uguagliando di nuovo i limiti da destra e sinistra otteniamo

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=0\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)=b[/math]

e quindi
[math]b=0[/math]
. Infine per la derivata seconda abbiamo
[math]f''(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
2\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} & & x\leq 0\\
& & \\
2a & & x>0
\end{array}\right.[/math]

e di nuovo uguagliando i limiti otteniamo

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f''(x)=2\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+}f''(x)=2a[/math]

e quindi
[math]a=1[/math]
.
Tutto chiaro?
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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..Ok i primi passaggi li avevo fatti...io sapevo il fatto della derivata 2° ma dato che il prof non ce ne ha mai parlato, non volevo fare il passo + lungo della gamba x poi essere rimproverata (-.-) perchè lui, se si può dire, uno stronzone.


edit: ma la derivata prima di ln etc....è ??? quella frazione???a me esce 0!
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Immagino.
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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la derivata prima di ln è quella frazione???....a me esce 0:(
poi un'altra cosa, non ci ha spiegato ancora come calcolare la derivata di uan fratta...la calcolo con il limite di h-->0 del rapporto incrementale?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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l'unico caso di derivata = 0 è se hai una costante. quella è una funzione composta.
per la derivata della fratta, puoi cosiderarla come prodotto di due funzioni
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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...a te qnt esce la derivata di ln?
MALEDETTEEEEEEEEEEEE:@
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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La derivata di ln x è 1/x:
è sicuramente dimostrato su ogni testo di analisi (anche per le scuole superiori);
la dimostrazione si basa su un limite notevole dei logaritmi.

La trovi anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Regole_di_derivazione

Pagine: 12

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