pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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allora, ciao ragazzi...oggi mi sn bloccata su una cosa a dir poco stupida :lol che non m fa continuare un esercizio.. (non prendetemi per pazza:lol)..

allora io ho questo:

Scrivi una funzione che sia definita in R-{1,-1}e che abbia:
la retta x=-1 come asintoto verticale;
il limite per x-->1 che vale 3/2;
non abbia asintoto orizzontale.

IO non voglio sapere il procedimento...voglio solo sapere ma in che forma deve stare al funzione??...mi spiego: io ho 3 condizioni, quindi mi devo trovare 3 parametri (a,b,c) [poi vedendo il D so che al denominatore avrò x^2-1]....la funzione come è??
cosi?

y= (ax^2+bx+c)/(x^2-1)

è un dubbio esistenziale, aiutatemiii:cry

Questa risposta è stata cambiata da Cherubino (05-11-08 19:53, 8 anni 1 mese )
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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l'intervallo di definizione con gli estremi compresi si indica con le parentesi quadre [-1, 1], estremi esclusi (-1, 1). con le graffe si indicano gli elementi singoli, cioè il dominio sarebbe formato solo dai punti -1 e 1.
io considero l'intervallo (-1, 1), cioè aperto.
la funzione puoi "spezzarla" in più "sottofunzioni" (il linguaggio nn è molto formale).
ad esempio la retta x=-1 asintoto verticale potrebbe significare una cosa del tipo
[math] y = \frac{a}{1+x^{2k + 1}} [/math]
nell'intervallo (-1, 0], con a = costante non nulla. poi per la seconda condizione puoi definire
[math] y = \frac{x+2}{2} [/math]
in (0, 1).. occhio a nn definire y due o più volte nello stesso punto :sega.. ma hai infinite possibilità con solo 3 condizioni date in qsto caso.
alla fine la scrivi così:

[math] f(x) = \begin{cases} \frac{a}{1+x^{2k + 1}} \ \ se \, -1 < x \le 0, \; (k \in \mathbb{N}, \, a \ne 0) \\ \frac{x+2}{2} \ \ se \, 0 < x < 1 \end{cases}[/math]

un'ottima sega mentale sarebbe trovare una funzione definita in un compatto (cioè un unico intervallo) che soddisfi quelle condizioni, ossia fare quello che stavi cercando di fare tu, ammesso che esista. ma questo lo lascio volentieri ad altri!

..se mi chiamavi avevamo il pretesto per fare una chiaccherata :)
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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xico87: l'intervallo di definizione con gli estremi compresi si indica con le parentesi quadre [-1, 1], estremi esclusi (-1, 1). con le graffe si indicano gli elementi singoli, cioè il dominio sarebbe formato solo dai punti -1 e 1.
io considero l'intervallo (-1, 1), cioè aperto.

wagliù, sul libro sta scritto così.... :mad
e poi volevo farti sapere che ho riperso la scheda :cry

e cmq mai fatte ste funzioni "scomposte"....negli altri es il prof ci da sempre l'esempio di funzione...e ora no...
Abbiamo perso 3 lezioni:O_o per lo sciopero e roba varia...e mercoledì ci aspetta il compito...
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora pukketta... quello che fai è la cosa giusta. Almeno in parte.

Ti spiego: la scelta migliore, per cercare di risolvere questo tipo di problemi è quella di cercare una funzione razionale fratta come hai fatto tu e dopodiché scriversi tutte le condizioni richieste. Partiamo dal Dominio: poiché deve essere, scritto come unione di intervalli,

[math]D=(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)[/math]

se cerchi una funzione razionale fratta, al denominatore dovrai avere un polinomio le cui uniche soluzioni sono
[math]\pm 1[/math]
, e quindi scegli (come hai fatto tu)
[math]x^2-1[/math]
. la funzione che cerchi è allora
[math]f(x)=\frac{P(x)}{x^2-1}[/math]

dove
[math]P(x)[/math]
è un polinomio da determinare. Le richieste possono essre poste nella forma seguente:
[math]\lim_{x\rightarrow -1^{\pm}} f(x)=\infty[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow 1^{\pm}} f(x)=\frac{3}{2}[/math]

[math]\lim_{x\rightarrow \pm\infty} f(x)=\infty[/math]

Vediamo di capire a che portano. Cominciamo dalla seconda. Poiché il limete deve esistere finito in 1, puoi pensare per un attimo che

[math]P(x)=\frac{3}{2}(x^2-1)[/math]

quando x si avvicina ad 1. Osserva però che 1^2-1=0, e questo ti dà P(1)=0. ne segue che il polinomio P ammette 1 come radice e quindi si può scrivere in questa forma:

[math]P(x)=(x-1) Q(x)[/math]

dove
[math]Q(1)\neq 0[/math]
. Se adesso scrivi tutto nel limite ottieni
[math]\lim_{x\rightarrow 1^{\pm}} f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^{\pm}}\frac{(x-1) Q(x)}{x^2-1}=
\lim_{x\rightarrow 1^{\pm}}\frac{Q(x)}{x+1}=\frac{Q(1)}{2}=\frac{3}{2}[/math]

e quindi la condizione
[math]Q(1)=3[/math]
.
Se usi invece la prima condizione avrai

[math]\lim_{x\rightarrow -1^{\pm}} f(x)=\lim_{x\rightarrow -1^{\pm}}\frac{Q(x)}{x+1}=\infty[/math]

e visto che x+1 tende a zero per x che tende a -1, devi avere
[math]Q(-1)=\ell\neq 0[/math]
(ricorda che un numero diviso zero dà infinito). L'ultima condizione è quella che crea casino nella tua scelta della funzione. Richiedere che non ci sia asintoto orizzontale implica che il polinomio P al numeratore sia almeno di un grado più alto del grado del polinomio al denominatore: solo in questo modo il limite all'infinito tende a infinito (e non ad un numero finito (gradi uguali) o a zero (grado numeratore minore di grado denominatore)). Ne segue che
[math]P(x)=x^3+\alpha x^2+\beta x+\gamma[/math]

puoi sicuramente suppore che il coefficiente di grado massimo sia non nullo e dividere tutto per tale coefficiente in modo da avere come primo coefficiente 1. Le condizioni di prima ti dicono allora

[math]P(x)=(x-1) Q(x)=(x-1)(x^2+ax+b)[/math]

e sfruttando le condizioni per Q hai le seguenti equazioni

[math]1+a+b=3,\qquad 1-a+b\neq 0[/math]
.
A questo punto è facile vedere che, dovendo essere
[math]a=2-b[/math]

[math]1-2+b+b\neq 0\Rightarrow b\neq 1/2[/math]

Basta allora scegliere un valore di b diverso da un mezzo e il corrispondente valore di a e il gioco è fatto, ad esempio con b=1, a=1 ottieni

[math]Q(x)=x^2+x+1,\qquad P(x)=x^3-1,\qquad f(x)=\frac{x^3-1}{x^2-1}[/math]
.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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mmm.. avevo evidentemente male interpretato la consegna, pensavo a un errore di battitura

edit: ahhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh nn avevo visto il meno davanti alla graffa.. auto:anal
scusa puk.. sto su un 17 pollici a 1600*1200 si vede un po' piccolo.. però ho troppe icone sul desktop, nn posso cambiare risoluzione :lol
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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in cosa?:dozingoff


ok auto:anal x te:lol fai bene:lol

grazie donato, come sempre gentilissimo:thx
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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cosa in cosa?:lol
ecco ti sei capita :lol:lol:lol
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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errore di battitura in cosa?:lol

mi stai facendo diventare pazza con le tue modifiche ai mess :anal
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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pensavo volessi mettere le parentesi tonde. ma tra l'altro se guardi bene il meno lo vedi solo se ti spremi le pupille.. ma a quell'ora cosa pretendi :lol

edit:lol: la prox volta separa con un carattere di spazio: - {
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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se guardi bene il??

edit:lol di edit:lol ah ora ho capito parlvai del meno!:dozingoff

editi:lol di edit:lol di edit:lol la prossima volta cambia pc!o risoluzione ;)

edit di edit di edit di edit:lol xicuccio, ora esco, tu fatti sentire:mad
kiss
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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mio fratello mi ha temporaneamente fregato il 21 pollici.. però il suo ha dei colori fantastici.. quasi quasi me lo tengo :lol
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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fai bene fai bene....cosi niente piu "sviste"....:lol
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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:XD
ci sentiamo puk, se sei in circolazione sto su msn ora..
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120308 Punti
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Io non le ho ancora fatte queste cose, però ho provato a seguire quello che hai detto tu donato e sono arrivato alla seguente funzione:
[math]f(x)=\frac{3x^3-3x^2}{x^2-1}[/math]
. Le condizioni, a meno che non sbagli io, dovrebbero essere verificate.
Il dominio è R-{-1;1}.

Sostituendo 1, ottengo:

[math]f(1)=\frac{3x^2(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{3 \times 1^2}{1+1}=\frac{3}{2}[/math]

Sostituendo -1, ottengo:

[math]f(-1)=\frac{-6}{0}=\infty[/math]

Il grado del numeratore è infine più alto di quello del denominatore.

Dovrebbe andare, no?? :dozingoff
pukketta
pukketta - Mito - 72506 Punti
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:dozingoff

Pagine: 12

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