the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ho:

[math]f(x)=\frac{e^x-4x}{e^x+1}[/math]

Per trovarne le intersezione con l'asse x, mi trovo a risolvere:

[math]e^x=4x[/math]

Devo dimostrare matematicamente che esistono due soluzioni.

Io ho pensato:

Trovo la retta tangente alla funzione
[math]e^x[/math]
di coefficiente angolare 4.
[math]e^x=4\right x=log4[/math]

Trovo il valore di e^x, considerata la mia funzione (non la derivata) e trovo che è uguale a 4.

trovo la retta tangente:

[math]4=4\cdot log4 +q[/math]

[math]q=4-lo4[/math]

Ma siccome il mio q deve essere 0 (passa per l'origine y=4x) ho che la retta

[math]y=4x+4-log4[/math]

la devo traslare verso sinistra, pertanto per forza deve avere 2 intersezioni.

Io ho risolto così. È giusto?

Il mio prof ha considerato il fascio proprio di centro
[math]O(0,0)[/math]
ha considerato la tangente alla curva
[math]e^x[/math]
e poi ha verificato che il coefficiente angolare delle nostra retta è maggiore di quella tangente, quindi ci devono essere 2 soluzioni. Ma come ha fatto a trovare la retta tangente??
Allo stesso modo come potrei procedere se dovessi risolvere

[math]arctanx=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}[/math]

??

È necessario un metodo matematico perché se disegno sono impreciso e come nel secondo caso le soluzioni sono 3, delle quali 2 non sono ovvie. Idee in merito?

Aggiunto 43 secondi più tardi:

Dimenticavo il dettaglio fondamentale. Si può risolvere la faccenda senza le derivate?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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come ha fatto il tuo prof:
la retta tangente a e^x in un punto generico x0 e passante per l'origine è

y-0 / x-0 = e^(x0)-0 / x0-0

quindi: y = (e^(x0)/x0)*x

nel punto x0 devi avere derivata della retta e della funzione e^x uguali, quindi e^x0 = e^x0/x0, da cui x0 = 1. dunque la retta y = ex è quella tangente al grafico di e^x passante per l'origine. e è minore di 4 quindi hai risolto

edit
per il secondo esercizio inizierei guardando dove la retta interseca gli asintoti dell'arcotangente
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Track, sinceramente.... non ci ho capito molto! :asd

Allora, ti illustro il metodo che uso io e che è abbastanza standard (e prima di tutto, per dare una risposta alla tua domanda, senza le derivate si può fare, ma non ne esci vivo!).

Dunque, supponi di volere determinare le soluzioni dell'equazione
[math]g(x)=0[/math]
. Per prima cosa, determina come è fatto il dominio e, una volta scritto per bene, passa ad analizzare cosa accade sui vari intervalli.
Fatto questo, passa a verificare cosa accade agli estremi degli intervalli in cui il dominio è suddiviso, calcolando i valori della funzione o dei limiti.

Il terzo passo consiste nel calcolare la derivata prima e, in base ad essa, determinare la monotonia della funzione sui vari intervalli.

Una volta che hai queste informazioni, puoi procedere a calcolare quante soluzioni hai.

Ti spiego praticamente come operare, in base ai due casi da te postati.

CASO 1
[math]f(x)=e^x-4x[/math]
Il dominio coincide con l'asse reale, inoltre

[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=+\infty[/math]
(come puoi verificare facilmente.)
La derivata prima è

[math]f(x)=e^x-4,[/math]

ed ammette un minimo nel punto
[math](\log 4, 4(1-\log 4))[/math]
, che si trova nel semipiano negativo. Ora, puoi concludere che la funzione è positiva in un intorno di
[math]-\infty[/math]
e di
[math]+\infty[/math]
per cui esiste
[math]M>0[/math]
tale che
[math]f(x)>0,\ |x|>M[/math]
. D'altra parte, in un intorno di
[math]x=\log 4[/math]
la funzione risulta negativa (teorema della permanenza del segno) e quindi esistono due punti,
[math]a<\log 4,\ b>\log 4[/math]
in cui la funzione cambia segno e, quindi, in cui interseca l'asse delle ascisse.
Puoi fare lo stesso ragionamento con l'altra funzione.

Se
[math]g(x)=\arctan x-\frac{x}{2}-\frac{1}{4}[/math]
, allora il dominio coincide con l'asse reale, si ha
[math]\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=\mp\infty[/math]

e si ha pure

[math]g'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{2}=\frac{1-x^2}{2(1+x^2)}[/math]

La funzione ammette allora un minimo in
[math](-1,(1-\pi)/4)[/math]
che giace nel semipiano negativo, ed un massimo in
[math](1,(\pi-3)/4)[/math]
che giace nel semipiano positivo.
Allora passi da valori positivi in un intorno di meno infinito, a valori negativi in un intorno del minimo, e quindi hai una intersezione. Passando dal punto di minimo a quello di massimo, hai di nuovo cambiamento di segno, così come passando dal punto di massimo ad un intorno di più infinito. Alla fine ci sono dunque tre intersezioni.
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# the.track : Giusto. Capito. Il secondo è ok adesso. A questo punto la mia domanda è: è necessario usare le derivate?

No, ma ti complichi la vita se non lo fai (e non chiedermi di spiegarti come se fa che nun c'ho voglia!)
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Scusa stavo leggendo la risposta di xico, non avevo visto la tua. infatti l'ho cancellata la mia. :)
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