the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Rieccomi a dover chiedere un suggerimento.

Allora devo trovare un modo per risolvere questa equazione:

[math]arctan|x|=-\frac{x+1}{x^2+1}[/math]

L'unico sistema è il confronto grafico? Oppure posso a priori, magari facendo qualche considerazione "furba", dire che non hanno intersezione le due funzioni?

Avevo pensato di derivare:

[math]-\frac{x+1}{x^2+1}[/math]

e trovare quale sia il suo minimo assoluto in x<0. Sapendo che passa per -1 e confrontando poi se in quel punto arctan(x) è minore uguale di quel valore.
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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forse sbaglio a chiedertelo, ma perché il minimo?

l'arc tangente va sopra l'asse x per x<0 con |x|, quindi in teoria dovresti cercare il massimo per x<0 no?
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Dunque forse è meglio se parto dall'inizio.

Ho:

[math]f(x)=(x+1)arctan|x|[/math]

La derivata a me viene:

[math]f'(x)=arctan|x|+\frac{x+1}{1+x^2}[/math]

E se adesso studio la derivata seconda dove è maggiore o uguale di zero, graficamente vedo che è sempre verificata. Ma la funzione ha anche un intervallo di decrescenza.

Grafico della
[math]f(x)[/math]


Grafico della
[math]f'(x)[/math]


Ho sbagliato a calcolare la derivata prima?

Scusate il disturbo ma ne sto uscendo scemo con 'sti esercizi.
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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la derivata prima sembra giusta...


hai provato a fare come dici tu?
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ho trovato l'errore. Il problema sta nel derivare il valore assoluto.

È meglio discutere prima il valore assoluto.

Se x<0 allora:

[math]f(x)=-(x+1)arctan(x)[/math]

Se x>0 allora:

[math]f(x)=(x+1)arctan(x)[/math]

L'errore viene quando derivi. In quanto la derivata può venire positiva o negativa. Quindi dovevo mettere la derivata dell'arcotangente in modulo.

Adesso provo a rifare l'esercizio. Aggiornerò in seguito. Se nel frattempo hai qualche illuminante idea fammi sapere. :)

————————

Aggiunta:
No non funziona ancora, :(
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Dunque, quando hai una funzione in valore assoluto, ti conviene scomporla in varie funzioni ognuna definita su un intervallo. Nel tuo caso

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
(x+1)\arctan x & & x\geq 0\\ -(x+1)\arctan x & & x<0
\end{array}\right.[/math]

da cui

[math]f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}
\arctan x+\frac{x+1}{x^2+1}& & x\geq 0\\ -\arctan x-\frac{x+1}{x^2+1} & & x<0
\end{array}\right.[/math]

Ora, osserva che la prima delle derivate è sempre positiva: infatti
[math]\arctan x\geq 0[/math]
se
[math]x\geq 0[/math]
, mentre la frazione, essendo il rapporto tra due quantità maggiori di zero è sempre positiva. quindi la prima derivata non si annulla mai.
Per la seconda, invece, puoi utilizzare il teorema di esistenza degli zeri. Poni

[math]g(x)=-\arctan x-\frac{x+1}{x^2+1},\qquad x<0[/math]

Tale funzione è continua e derivabile, e si ha

[math]g'(x)=-\frac{1}{x^2+1}-\frac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2-1+x^2+2x-1}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x-1)}{(x^2+1)^2}.[/math]

Ora, tale frazione, essendo
[math]x<0\Rightarrow x-1<-1[/math]
risulta sempre negativa sull'insieme di definizione di g. Ma allora
[math]g'(x)<0[/math]
e quindi la funzione
[math]g(x)[/math]
è ovunque decrescente sul suo dominio. Avendosi anche
[math]\lim_{x\rightarrow-\infty} g(x)=\frac{\pi}{2},\qquad \lim_{x\rightarrow 0^-} g(x)=-1[/math]

per il teorema di esistenza degli zeri esiste un unico
[math]a\in(-\infty,0)[/math]
tale che
[math]g(a)=0[/math]
. Inoltre, visto che
[math]g(x)>0,\quad x<a,\qquad g(x)<0,\quad x>a[/math]

e ricordando che
[math]g(x)=f'(x)[/math]
, segue che la funzione originale ammette in
[math]x=a[/math]
un punto di massimo (relativo, in quanto la funzione originale va a
[math]\pm\infty[/math]
per
[math]x\rightarrow\pm\infty[/math]
).
P.S.: usare il metodo grafico per determinare gli zeri è giusto, ma, dal punto di vista della risoluzione di un esercizio, artificioso. Ciò che conviene fare è sempre usare il teorema di esistenza degli zeri.
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Si ok. Grazie.

Però non è possibile calcolare il valore
[math]x=a[/math]
se non in modo approssimato?
Tanto per intenderci, se io devo disegnare il grafico, pongo
[math]a[/math]
ad occhio (in modo approssimato intendo)?
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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in modo non approsimato non credo... la mia prof mi faceva usare il metodo di bisezione per raggiungere una certa approsimazione di a in cui la funzione andava a 0...

boh aspettiamo Ciampax xD
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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# the.track : Si ok. Grazie.

Però non è possibile calcolare il valore
[math]x=a[/math]
se non in modo approssimato?
Tanto per intenderci, se io devo disegnare il grafico, pongo
[math]a[/math]
ad occhio (in modo approssimato intendo)?

E' ovvio che dovrai approssimarlo, ma co sono miglia di modi per farlo. Metodo di bisezione, Newton, delle tangenti. In ogni caso, basta ragionarci un po' su. Visto che

[math]\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)=-1[/math]
e
[math]f'(-1)=\frac{\pi}{4}[/math]

la derivata cambia segno nell'intervallo
[math](-1,0)[/math]
e quindi
[math]a\in(-1,0)[/math]
.
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Bene. Tutto chiaro. Grazie ancora. Probabilmente chiederò altre cose. Qui chiudo intanto. :)
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