the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ho qualche dubbio riguardo questa funzione:

[math]f(x)=\frac{x^4}{x^3+2}[/math]

Metto il campo di esistenza:

[math]CE:\; x\neq \sqrt[3]{-2}[/math]

Parità:

[math]f(-x)=\frac{(-x)^4}{(-x)^3+2}\neq -f(x) \neq f(x)[/math]

Non ci sono parità.

Continuità:

La funzione è continua in quanto formata da funzioni continue.

Limiti:

[math]\lim_{x \right -\infty}\; f(x)=-\infty\\
\\
\lim_{x \right +\infty}\; f(x)=+\infty\\
\\
lim_{x \right \sqrt[3]{-2}^-}\; f(x)=-\infty\\
\\
\lim_{x \right \sqrt[3]{-2}^+}\; f(x)=+\infty[/math]

Intersezioni:

[math]f(x)=0 \right x=0[/math]

Segno:

[math]f(x)>0[/math]

Posso studiare solo il denominatore e ottengo:

[math]f(x)>0 \; per \; x>\sqrt[3]{-2}[/math]

Asintoti lineari:

[math]\lim{x\right -\infty}\;\frac{f(x)}{x}=\lim_{\right -\infty}\;\frac{x^3}{x^3+2}=1[/math]

[math]\lim{x\right -\infty}\; f(x)-1x=\frac{x^4-x^4-2x}{x^3+2}=0[/math]

Pertanto avrò che per
[math]x\right -\infty[/math]
la f(x) è asintotica alla retta:
[math]f(x)=x[/math]

[math]\lim_{x\right +\infty}\; \frac{x^3}{x^3+2}=1[/math]

[math]\lim_{x\right +\infty}\; \frac{x^4-x^4-2x}{x^3+2}=0[/math]

Pertanto avrò che per
[math]x\right +\infty[/math]
la f(x) è asintotica alla retta:
[math]f(x)=x[/math]

Derivate:

[math]f'(x)=\frac{x^3(x^3+8)}{(x^3+2)^2}[/math]

f'(x)=0 per trovare gli estremanti della funzione.

[math]x=-2\; V\; x=0[/math]

Gli estremi sono:

[math]f(-2)=-\frac{8}{3}\; V \; f(0)=0[/math]

Che sono rispettivamente due punti di massimo e minimo locale.

[math]f'(x)=0 \; per \; x=0\; V \; x=-2[/math]

[math]f'(x)>0 \right x<-2\; V \; x>0[/math]

Derivate ulteriori:

[math]f''(x)=\frac{(6x^5+24x^2)(x^3+2)^2-(x^6+8x^3)(6x^5+12x^2)}{(x^3+2)^4}=\frac{-12x^2(x^6-2x^3-8)}{(x^3+2)^4}[/math]

Quando io ne studio il segno trovo che:

[math]f''(x)>0 \right \sqrt[3]{2-\sqrt{3}}<x<\sqrt[3]{2+\sqrt{3}}[/math]

Ed è qui che mi inchiodo in quanto, secondo i miei risultati la funzione va ad sbattere contro l'asintoto e non ha senso.
In altre parole mi viene la funzione concava prima di zero il che mi pare assurdo.

Ho sbagliato la derivata seconda?

Dimenticavo il grafico:



:)
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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No direi che la derivata seconda è giusta... almeno mi sembra...

sbatte nell'asintoto obliquo dici?

_____

ah ecco il grafico, cmq a me sembra normale che venga concava prima di 0, in quanto questa funziona cambia la concavità con il suo asintoto verticale...

ed essendo l'asintoto
[math] x = \sqrt[3]{-2}[/math]
direi che hai fatto tutto giusto...
BIT5
BIT5 - Mito - 28446 Punti
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Quando studi il segno della derivata seconda (nel tuo caso solo il numeratore) hai

[math] -12x^2 [/math]
che e' sempre una quantita' negativa
Poi hai
[math] (x^6-2x^3-8) [/math]
che, ad esempio, con somma e prodotto da'
[math] (x^3-4)(x^3+2)>0 [/math]

da cui

[math] x^3<-2 \ U x^3>4 \to x< \sqrt[3]{-2} \ U \ x> \sqrt[3]{4} [/math]

Devi prendere i valori compresi, (perche' ti servono i negativi) e ottieni

[math] - \sqrt[3]{2}<x< \sqrt[3]{4} [/math]

non so come hai trovato quelle radici, sinceramente, ma credo comunque sia un errore di calcolo delle soluzioni..
the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Ah si ecco. Grazie. Adesso torna, infatti un cambio di concavità doveva avvenire per forza nel valore
[math]x=-\sqrt[3]{2}[/math]
per la questione dell'asintoto. Ok grazie ora i conti tornano.
:love Grazie bit
:love Grazie romano

:lol

P.S.: Chiudo
:)
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