the.track
the.track - Genius - 12440 Punti
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Considero questo integrale da risolvere:

[math]\int x^n\cdot e^{\beta x}dx[/math]

Dove

[math]\beta\neq 0 \; \in \; R, \; n \in N[/math]

Ho pensato di risolverlo per parti e mi esce una cosa di questo tipo:

[math]\int x^n\cdot e^{\beta x}dx=\frac{1}{\beta}\int \beta x^ne^{\beta x}dx=\\
\\
\frac{1}{\beta}e^{\beta x}x^n-\frac{n}{\beta}\int e^{\beta x}x^{n-1}dx=\\
\\
\frac{1}{\beta}e^{\beta x}x^n-\frac{n}{\beta ^2}e^{\beta x}x^{n-1}+\frac{n(n-1)}{\beta ^2}\int e^{\beta x}x^{n-2}dx
[/math]

È giusto? Adesso dovrei per ovvia comodità esprimerlo come somma di qualche cosa.

La soluzione deve essere:

[math]\frac{e^{\beta x}}{\beta ^{n+1}}\sum_{j=0}^n \; (-1)^j\frac{n!}{(n-j)!}(\beta x)^{n-j} [/math]

Come giungo a tale soluzione?
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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L'integrale che fai è giusto. Per determinare la formula, ti conviene però prima fare una sostituzione. Indichiamo

[math]I_n=\int x^n e^{\beta x}\ dx,\qquad n\in\mathbb{N}[/math]

e poniamo
[math]t=\beta x[/math]
da cui
[math]dx=\frac{1}{\beta}\ dt[/math]
e quindi
[math]I_n=\frac{1}{\beta^{n+1}}\int t^n e^t\ dt[/math]

ed integrando per parti come hai fatto tu (senza tenere per il momento conto della costante
[math]1/\beta^{n+1}[/math]
), la relazione
[math]I_n=e^t t^n-n I_{n-1}.[/math]

Ora puoi procedere in vari modi.

Metodo 1: vai a sostituire a ritroso in questa formula nel modo seguente

[math]I_n=e^t t^n-n\left(e^t t^{n-1}-(n-1) I_{n-2}\right)=e^t t^n-n e^t t^{n-1}+n(n-1) I_{n-2}=[/math]

[math]=e^t t^n-n e^t t^{n-1}+n(n-1)\left(e^t t^{n-2}-(n-2) I_{n-3}\right)=[/math]

[math]=e^t t^n-n e^t t^{n-1}+n(n-1) e^t t^{n-2}-n(n-1)(n-2) I_{n-3}=\ldots[/math]

e se ripeti questo calcolo k volte, otterrai

[math]I_n=\frac{n!}{n!} e^t t^n-\frac{n!}{(n-1)!} e^t t^{n-1}+\frac{n!}{(n-2)!} e^t t^{n-2}-\frac{n!}{(n-3)!} e^t t^{n-3}+\ldots+(-1)^k\frac{n!}{(n-k)!} e^t t^{n-k}+(-1)^{k+1} I_{n-k-1}=[/math]

[math]\sum_{j=0}^k (-1)^j\frac{n!}{(n-j)!} e^t t^{n-j}+(-1)^{k+1} I_{n-k-1}[/math]

da cui, osservando che per
[math]k=n-1[/math]
si ha
[math]I_{n-n+1-1}=I_0=\int e^t\ dt=e^t,[/math]

segue la formula

[math]I_n=e^t\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^j\frac{n!}{(n-j)!} t^{n-j}+(-1)^{n} e^t=
e^t\sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{n!}{(n-j)!} t^{n-j},[/math]

e quindi, moltiplicando nuovamente per la costante e sostituendo a
[math]t=\beta x[/math]
, la formula che cercavi.

Metodo 2: Osserva che la formula ricorsiva si può scrivere come

[math]I_n+n I_{n-1}=e^t t^n[/math]
.
Se poniamo allora
[math]X_{k}=I_k,\ k=0,\ldots,n[/math]
, otteniamo il seguente sistema lineare di
[math]n+1[/math]
equazioni in
[math]n+1[/math]
incognite
[math]\left\{\begin{array}{l}
X_k+k X_{k-1}=e^t t^k,\qquad k=1,\ldots,n\\
X_0=e^t
\end{array}\right.[/math]

Indichiamo con

[math]\mathbf{X}_n(t)=(X_0, X_1,\ldots,X_n)^T,\qquad T_n=(1,t,t^2,\ldots,t^n)^T[/math]

[math]A_n=\left(\begin{array}{cccccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 3 & 1 & \ldots & 0 & 0 & 0\\
& & & & & & & \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\
& & & & & & & \\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & n-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & n & 1
\end{array}\right)[/math]

rispettivamente il vettore delle incognite, il vettore dei termini noti e quello dei coefficienti: allora

[math]A_n\mathbf{X}_n(t)=e^t T_n[/math]

è la scrittura compatta del sistema. Visto che la matrice dei coefficienti è triangolare inferiore, segue che il suo determinante è pari al prodotto degli elementi diagonali, per cui

[math]\det A_n=(1)^n=1\neq 0[/math]

e quindi la matrice è sempre invertibile. Allora la soluzione del sistema è

[math]\mathbf{X}_n(t)=e^t A_n^{-1} T_n[/math]

e si riduce quindi al calcolo della matrice inversa. (Qui per il momento mi fermo: calcolare la matrice inversa non è difficile ma può essere piuttosto lungo a seconda del metodo che usi... se vuoi poi ne riparliamo.)

Metodo 3: questo è un metodo molto più fine! (anche se ci vuole un po' per comprenderlo appieno.) Per prima cosa, osserviamo quanto segue: se iterimao i calcoli per integrazione per parti, la formula per
[math]I_n(t)[/math]
(visto che è una funzione) conterrà tanti addendi della forma
[math]e^t t^k,\ t=0,\ldots,n[/math]
ciascuno moltiplicato per una differente costante: allora
[math]I_n(t)=\sum_{k=0}^n C(n,k)\ e^t t^k=e^t\cdot\sum_{k=0}^n C(n,k) t^n[/math]

dove le costanti dipendono dal grado n scelto e dai valori di k possibili.

Ora.... mi sono rotto e continuo un'altra volta! :asd
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