gabmac2
gabmac2 - Sapiens - 402 Punti
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Qualcuno mi può fare un esempio sull' uso (e il perchè) del polinomio di Taylor?

Come si trova primitiva funzione ad esempio F(0)=2
si trova la primitiva e poi si sostituisce la x con 0 e si simpone =2?
ciampax
ciampax - Tutor - 29178 Punti
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Per la seconda, è esattamente così. Poché se
[math]F'(x)=f(x)[/math]
hai pure
[math]\int f(x)\ dx=F(x)+c[/math]

basta imporre la condizione come dici tu e trovare il coefficiente
[math]c[/math]
giusto.
Per la prima domanda, in generale gli sviluppi si usano per il calcolo di limiti o per la determinazione dell'integrabilità di alcune funzioni in punti in cui non siano definite (oltre a poter essere usati per lo studio locale della funzione in un intorno di un punto, ma questo è un metodo che viene usato poco, preferendo quello del calcolo differenziale globale).
gabmac2
gabmac2 - Sapiens - 402 Punti
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mi puoi fare uno sviluppo di taylor su un limite da te scelto per vedere come "funziona"?
Ti ringrazio
ciampax
ciampax - Tutor - 29178 Punti
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Guarda, se cerchi in giro nel forum qualche discussione che contiene limite nel titolo, ce ne sono a bizzeffe. Altrimenti cercane tu uno che ti mostro come fare!
gabmac2
gabmac2 - Sapiens - 402 Punti
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ne ho trovati,ma se hai tempo mi fai questo
ln(cos x)
ciampax
ciampax - Tutor - 29178 Punti
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Questo che? Cosa vuoi sapere?
gabmac2
gabmac2 - Sapiens - 402 Punti
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se era possibile con Taylor
ciampax
ciampax - Tutor - 29178 Punti
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Allora, quando chiedi una cosa del genere devi specificare:

1) qual è la funzione
2) il punto in cui usare gli sviluppi di taylor
3) il grado dello sviluppo che si vuole raggiungere.

Nel caso in esame, è interessante sviluppare la funzione
[math]f(x)=\log(\cos x)[/math]
nel punto
[math]x=0[/math]
al grado 6. Per farlo, bisogna usare i due sviluppi notevoli
[math]\cos t=1-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)[/math]

[math]\log(1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}+o(t^3)[/math]

Allora possiamo scrivere

[math]\log(\cos t)=\log\left[1+\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)\right)\right]=\\
=-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)-\frac{1}{2}\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)\right)^2+\frac{1}{3}\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)\right)^3+o\left[\left(-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)\right)^3\right]=\\
=-\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{24}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)-\frac{1}{2}\left(\frac{t^4}{4}-\frac{t^6}{24}+o(t^6)\right)+\frac{1}{3}\left(-\frac{t^6}{8}+o(t^6)\right)+o(t^6)=\\
=-\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{12}-\frac{t^6}{720}+o(t^6)[/math]

che è lo sviluppo cercato.
gabmac2
gabmac2 - Sapiens - 402 Punti
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grazie 1000 ciampax!
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