franki
franki - Erectus - 50 Punti
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1)scrivere le equazioni delle due curve xy=k e y=ax^2+b sapendo che passano per il punto P (1,2) e che la tangente alla parabola in questo punto ha coefficiente angolare -2. Calcolare le coordinate dei punti comuni e verificare che le due curve sono tangenti.

2) Data la parabola di eq. y=x^2-10x+16 che incontra in A e B l'asse x, determinare:
-l'eq. della circonferenza passante per A e B, tangente all'asse y e avente il centro C nel primo quadrante
-le coordinate del punto P della parabola in cui la tangente è parallela alla retta y=2x
-l'area del quadrilatero APBC
Kurt Cobain
Kurt Cobain - Sapiens - 680 Punti
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franki...:) ora risolvo il primo problema, ma non sono sicuro che hai studiato la derivata prima... risolvo l'esercizio usando questa derivata prima... e se non l'hai studiata... purtroppo non posso aiutarti, perche' non posso risolverlo in altro modo...

ti posso aiutare anche con gli altri esercizi, nel altro forum:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29101 Punti
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Problema 1)

Poiché entrambe le curve passano per il punto P, allora

[math]k=1\cdot 2=2,\qquad 2=a+b\Rightarrow k=2, b=2-a[/math]
.
La tangente alla parabola nel punto P è

[math]y-2=-2(x-1)\Rightarrow y=-2x+4[/math]

e quindi, sostituendo questo valore di y nell'equazione della parabola si ha

[math]-2x+4=ax^2+b\Rightarrow ax^2+2x-2-a=0[/math]

Ora visto che la retta è tangente alla parabola 8e quindi la tocca in un solo punto) l'equazione precedente deve avere una sola soluzione, e ciò si ottiene imponendo che il discriminante sia nullo. Quindi

[math]\Delta=4+4a(2+a)=0\Rightarrow a^2+2a+1=0\Rightarrow (a+1)^2=0[/math]

e quindi
[math]a=-1[/math]
e
[math]b=3[/math]
, da cui l'equazione della parabola
[math]y=-x^2+3[/math]
.

Per trovare i punti comuni, mettiamo a sistema le equazioni. poiché
[math]y=2/x[/math]
, sostituendo nell'equazione della parabola
[math]2/x=-x^2+3\Rightarrow x^3-3x+2=0[/math]

Una soluzione è
[math]x=1[/math]
(la coordinata di P) e dividendo il polinomio di terzo grado per
[math]x-1[/math]
abbiamo
[math](x-1)(x^2+x+2)=0[/math]

Poiche il discriminante dell'equazione di secondo grado è
[math]\Delta=1-8=-7[/math]
negativo, allora tale equazione non ha soluzioni e quindi l'unico punto di intersezione è
[math]P(1,2)[/math]
. Per verificare che le due curve sono tangenti, basta osservare che la retta precedente è anche tangente all'iperbole. Infatti se mettiamo a sistema l'equazione di retta e iperbole abbiamo
[math]2/x=-2x+4\Rightarrow 2x^2-4x+2=0\Rightarrow (x-1)^2=0[/math]

e quindi l'unico punto di intersezione tra iperbole e etta è il punto P. Risulta che le due curve sono tangenti in P.



Il secondo problema più tardi, che devo prima farmi un po' di conti! :lol
Vodkina
Vodkina - Erectus - 50 Punti
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grazie 1000 davvero a chi risolve i problemi..vado a scuola con franki e siete stati utilissimi..speriamo bene per il compito di domani..grazieeeeeeeee
p.s sauuu franki
Kurt Cobain
Kurt Cobain - Sapiens - 680 Punti
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eccola anche la mia soluzione che e' un po' diversa... ho usato la derivata prima... scusa se non l'hai mai sentita..;)

da P(1;2)=> subito k=2 => y=2/x
y=ax^2+b => y'=2ax
sappiamo che la derivata prima e' il coef. angolare della funzione in un punto. nel nostro caso questo punto e' P(1;2) => diventa 2a=-2 => a=-1, da qui sostituiamo nel y => 2=-1+b => b=3 =>
y=-x^2+3 e' l'equazione della parabola

ora possiamo disegnare i grafici della par. e l'ip. Si puo vedere che si intersecano in piu' di un punto, qundi devo dire che Ciampax ha qualche errore nei calcoli.
-x^2+3=2/x e' l'equazione che dobbiamo risolvere... dal grafico si vede che uno dei questi punti d intersezione e' x=-2 (questo si puo' anche raggionare) => facciamo la regola di Horner (o Ruffini che voi usate, che e' lo stesso:)...)

la funzione diventa
-(x+2)(x^2-2x+1)=0 => le soluzioni sono x=-2(come ho detto prima) e x=1, che e' doppio, perche' diventa -(x+2)(x-1)^2=0... sappiamo anche che una funzione cubica ha sia 3 soluzioni reali, sia 1 soluzione reale e 2 soluzioni nonreali... in nostro caso sono 3 soluzioni

qui facciamo come ha fatto Ciampax e troviamo che le curve sono tangenti in P(1;2)

:)

ho risolto anche il secondo esercizio ma lo scrivo dopo, perche' ora devo mangiare:D
qundi qualcuno deve scrivere quacosa...:)
ciampax
ciampax - Tutor - 29101 Punti
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Problema 2)

I punti di intersezione con l'asse x (equazione y=0) si trovano risolvendo l'equazione

[math]x^2-10x+16=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{100-64}}{2}=5\pm 3[/math]

e quindi sono i punti di coordinate
[math]A(2,0), B(8,0)[/math]
.
L'equazione della circonferenza generica è

[math]x^2+y^2+ax+by+c=0[/math]

Poiché la circonferenza passa per i due punti, allora

[math]4+2a+c=0,\qquad 64+8a+c=0[/math]

Sottraendo membro a mebro la prima equazione dalla seconda, abbiamo

[math]60+6a=0\Rightarrow a=-10[/math]

e quindi dalla prima equazione
[math]c=-4-2a=16[/math]
.
Poiché la circonferenza è tangente all'asse y (eq. x=0), abbiamo anche

[math]y^2+by+16=0[/math]

e il discriminante di questa equazione deve essere uguale a zero, in quanto ci deve essere solo una soluzione. Ma allora

[math]b^2-64=0\Rightarrow b=\pm8[/math]

Osserviamo ora che le coordinate di C devono essere entrambe positive. Poiché

[math]C(-a/2,-b/2)\Rightarrow b=-8[/math]

e quindi l'equazione della circonferenza è

[math]x^2+y^2-10x-8y+16=0\Rightarrow (x-5)^2+(y-4)^2=25[/math]

con centro
[math]C(5,4)[/math]
e raggio
[math]r=5[/math]
.

La retta tangente avrà equazione

[math]y-y_p=2(x-x_p)\Rightarrow y=2x-2x_p+y_p[/math]

essendo
[math]P(x_p,y_p)[/math]
. mettendo a sistema con l'equazione della parabola abbiamo
[math]x^2-12x+2x_p-y_p+16=0[/math]

e imponendo ancora che il discriminante sia nullo si ha

[math]144-4(2x_p-y_p+16)=0\Rightarrow 20-2x_p+y_p=0[/math]

ma P è un punto della parabola, quindi
[math]y_p=x_p^2-10x_p+16[/math]
e quindi
[math]x_p^2-12x_p+36=0\Rightarrow (x_p-6)^2=0\Rightarrow x_p=6[/math]

da cui
[math]P(6,-8 )[/math]
.


L'ultimo punto..... scusatemi ma casco dal sonno!
Kurt Cobain
Kurt Cobain - Sapiens - 680 Punti
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l'ultimo era il piu' banale... devi solo sommare le superficie dei due triangoli ABC e ABP:
l'area totale diventa 39...

io la b l'ho trovata in un altro modo (perche' non ricordavo che l'eq. y^2+by+16=0 deve avere solo una soluzione) e quindi l'ho trovata con il raggio... il raggio e' = a 5, si puo vedere subito; l'y del centro = l'y, dove la circ. e' tangente con l'ordinata; x del centro = 5, e da qui il raggio diventa 5 =>

r=1/2(radice di(a^2+b^2-4c); sappiamo r(raggio), a e c => b=+-8, ma C appartiene al primo quadrante => b=-8 e da qui C(5;4)

ho trovato P con la prima derivata:
y=x^2-10x+16 => y'=2x-10 => 2x-10=2 (che e' il coef. angolare della retta) e x=6 => y=-8 e P(6;-8.)

poi trovare l'area e' facile...:)
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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perché ce scrivete URGENTISSIMO, URGENTE ...
nàrtro pò ce scriveranno QUESTIONE DI VITA O DI MORTE :lol:lol
SuperGaara
SuperGaara - Mito - 120307 Punti
Rispondi Cita Salva
Beh certe volte scrivono: FATEMI QUESTI ESERCIZI!

...come se fossimo obbligati...:lol:lol
Kurt Cobain
Kurt Cobain - Sapiens - 680 Punti
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hehe... se qualche volta sono necessari per un compito si puo' perdonare l'usanza della parola "URGENTISSSIIISSSIMOOO"... hehhe... :D
tidy
tidy - Genius - 18860 Punti
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WHAT?????????????
Kurt Cobain
Kurt Cobain - Sapiens - 680 Punti
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il mio prof di matematica dice: "Haicapitocos'hodetto?" in meno di un secondo... :D

forse non ero molto chiaro, ma sono straniero e vi prego che voi mi perdonate...:)

volevo dire che qualche volta si possono perdonare parole come URGENTE negli posts... poi almeno si puo' scrivere GRAZIE:)

poi... ho scritto gli esercizi perche' servivono anche a me, perche' dopo un mese ho esami di maturita' e gli esercizi saranno su geometria analitica, quindi non ho perso nulla quando gli ho scritto... piucche' gli ho fatto in altro modo di come gli ha fatto ciampax... utili per me, utili per gli altri... cosa si puo' volere di piu'... questa e' la funzione di questo forum, no? almeno questo e' il nome che ha... MATEMATICA e quindi e' un luogo dove si discutono esercizi di matematica...

posso continuare la discusione, ma non e' il posto giusto per questo...
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