Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Ciao a tutti.

Ho un problemone con i numeri complessi. Devo calcolare:

[math]\sqrt{21+20i}[/math]

La formulettina per calcolare le radici del numero complesso
[math]Z[/math]
, il cui modulo è
[math]\rho[/math]
è:
[math]\sqrt[n]{\rho}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\theta+2k\pi}{n})[/math]

Il risultato che indica la dispensa è:
[math](5+2i),-(5+2i)[/math]
...
Come caspito fa a venirgli? A me viene un risulato contorto con le arcotangenti di 20/21...

Avreste la gentilezza e la pazienza di verificare tale radice? Grazie in anticipo.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Le radici del tuo professore sono giuste.
Secondo me se le "fa venire" richiedendo un numero della forma z=a+ib che moltiplicato per se stesso dia z^2 = 21 + i20:

(a+ib)(a+ib)= a^2 - b^2 + 2iab
e da qui:
[math]\begin{cases}
a^2 - b^2 = 21 \\
2ab= 20
\end{cases}[/math]

Altrimenti, io userei le coordinate polari:
[math]z = a + ib = re^{i\theta}[/math]
ricordando la Formula di Eulero
[math]e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta[/math]

ottieni con semplicità che
[math]a = r \cos \theta[/math]
[math]b = r \sin \theta[/math]

[math]r = \sqrt{a^2 + b^2}[/math]
[math]\theta = \arctan{\frac b a}[/math]

A questo punto, come penso a te, viene
[math]\sqrt{re^{i\theta}} = \pm \sqrt r e^{i\frac \theta 2}[/math]
[math]r = 29[/math]
[math]\theta = \arctan \frac{21}{20}[/math]
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Uhm... purtroppo con nessuno dei metodi proposti arrivo alle soluzioni sopra indicate.

Il sistema non lo riesco a risolvere e usando le coordinate polari il risultato non viene espresso nello stesso modo dei risultati del professore.

Con le coordinate polari viene:

[math]\sqrt{29}(\cos\frac{\arctan\frac{20}{21}+2k\pi}{2}+i\sin\frac{\arctan\frac{20}{21}+2k\pi}{2})[/math]

Cosa non quadra?
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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il tuo risultato è quasi giusto. perchè il meno davanti all'unità immaginaria? l'angolo è compreso tra 0 e 180..
dimenticavo.. Cherubino ti ha dato un suggerimento (il primo). semplicemente il tuo insegnante ha visto che si poteva vedere come prodotto notevole:

21 + 20i = 25 - 4 + 20i = 25 + 4i^2 + 20i = (5 + 2i)^2
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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xico87: il tuo risultato è quasi giusto. perchè il meno davanti all'unità immaginaria? l'angolo è compreso tra 0 e 180..
dimenticavo.. Cherubino ti ha dato un suggerimento (il primo). semplicemente il tuo insegnante ha visto che si poteva vedere come prodotto notevole:

21 + 20i = 25 - 4 + 20i = 25 + 4i^2 + 20i = (5 + 2i)^2

Ho corretto. Il meno sta nella formula per ricavare le potenze di un numero complesso.

Secondo voi il mio insegnante potrebbe accettare il mio risultato? (Non oso chiederglielo, altrimenti, con tanta calma ed eleganza mi darebbe un bel calcio rotante nel di dietro).

Non riesco a calcolare il sistema proposto da Cherubino. Sarà che son stanco e che ho studiato matematica per 6 ore di fila, ma non riesco a svolgerlo...

P.S: Se vi può interessare, ho notato che c'è un problema nel login del sito (sarà un errore nello script PHP). Quando ci si connette, il login viene tenuto in memoria, ma le funzionalità di un utente registrato vengono disattivate e per riconnettersi bisogna andare nella Home Page, disconnettersi e riconnettersi.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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non occorre, più semplicemente noti che è un prodotto notevole e basta. il tuo metodo è corretto cmq
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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Allora, intervengo per dipanare la questione.
Entrambi i metodi usati sono corretti e, in realtà, sono la stessa cosa (quando lo capirete che esiste un modo per passare da coordinate cartesiano a polari e viceversa? )

Cmq, ritornando alla questione, effettivamente usare la formula di De Moivre (si chiama così quella che esprime le radici e le potenze di un numero complesso) con i coefficienti che ti ritrovi è effettivamente un po' problematico!

La forma polare del tuo numero complesso è

[math]z=29\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)[/math]

dove
[math]\theta=\arctan\frac{20}{21}[/math]
(dovete fare il rapporto tra la parte immaginaria e la parte reale e non il viceversa, o stolti!)
Il metodo suggerito da Xico allevia in un senso i calcoli, dall'altro li peggiora. Cmq vediamo come risolvere: il sistema è

[math]\left\{\begin{array}{l}
a^2-b^2=21\\
2ab=20
\end{array}\right.[/math]

Avendosi
[math]a=10/b[/math]
dalla seconda equazione, sostituendo nella prima si ricava dopo opportune semplificazioni
[math]100/b^2-b^2-21=0\Leftrightarrow b^4+21 b^2-100=0[/math]

Ponendo
[math]t=b^2[/math]
l'equazione diviene
[math]t^2+21 t-100=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]t_{1,2}=\frac{-21\pm 29}{2}[/math]

A questo punto, scegliendo solo la radice col segno positivo (l'altra è un numero negativo e va scartata) ti resta da risolvere l'equazione

[math]b^2=4[/math]

le cui soluzioni sono
[math]b=\pm 2[/math]
. Andando a sostituire per il valore di a ottieni
[math]a=\pm 5[/math]
e quindi le radici
[math] 5+2i\qquad -5-2i[/math]
.
Progettista HW
Progettista HW - Genius - 2540 Punti
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Grazie!

ciampax: (quando lo capirete che esiste un modo per passare da coordinate cartesiano a polari e viceversa?)

E quando lo capirete che passare da CC a CP e viceversa è troppo faticoso? :satisfied

ciampax:Ponendo
[math]t=b^2[/math]
l'equazione diviene
[math]t^2+21 t-100=0[/math]

Questo passaggio mi bloccava... infatti non sono riuscito a capire che l'equazione poteva essere trasformata in una di secondo grado.

Grazie ancora a tutti.
Cherubino
Cherubino - Mito - 11351 Punti
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Cherubino: A questo punto, come penso a te, viene
[math]\sqrt{re^{i\theta}} = \pm \sqrt r e^{i\frac \theta 2}[/math]
[math]r = 29[/math]
[math]\theta = \arctan \frac{21}{20}[/math]

Portando avanti i conti con DeMoivre,
ed esprimendo con a e b rispettivamente la parte reale e immaginaria della radice positiva:
[math]a=\sqrt{29} \cos{((\arctan{\frac {20}{21}})/2)} [/math]
[math]b=\sqrt{29} \sin{((\arctan{\frac {20}{21}})/2)} [/math]
la mia magica calcolatrice restituisce proprio a=5 e b=2, senza alcuna approssimazione.
Provare per credere!
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