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Ciao, ho una domanda da fare a proposito del prodotto di due matrici:
quando eseguo la moltiplicazione moltiplico la prima riga della prima matrice per la prima colonna della seconda matrice e cosi via per tutte le colonne e righe...
1) che nesso c e fra prodotto scalare e prodotto di matrici?
2) come mai moltiplico riga per colonna?

1) quando moltiplico una riga per una colonna eseguo un prodotto scalare giusto?

Grazie ciao!
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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1) no! il prodotto di due matrici non è in generale un prodotto scalare. Il prodotto scalare è un'applicazione che ad ogni coppia di vettori associa uno scalare (numero reale). Il prodotto di due matrici invece è in generale una matrice e non un numero.

2) non mi ricordo + perché si fa riga per colonna, ma mi sembra perché in questo modo è verificata la proprietà associativa. In questo modo l'insieme di matrici n x m hanno una struttura algebrica. Se consideri le matrici invertibili di rango fissato con il prodotto (quello appunto riga x colonna) hai un gruppo (c'è l'inverso x ogni elemento, vale la proprietà associativa ma non commutativa).

1) se i due elementi rappresentano ciascuno un vettore stai eseguendo un prodotto scalare. Questo è un caso particolare di prodotto tra due matrici che da come immagine uno scalare.
rico
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mi piacerebbe capire maeglio la domanda 2) perche nn l ho capita e nn so dove andare a guardare per trovare una risposta...sulle mie dispense nn c e scritto
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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prova a scrivere tre matrici 2x2 A, B, C, ed a fare il prodotto riga per colonna risulterà sicuramente
(A x B) x C = A x (B x C)

Mentre se provi a fare il prodotto colonna per colonna (A x B) x C sarà diverso da A x (B x C)

Idem se usi il prodotto riga per riga.

Tante cose di matematiche che insegnano nei corsi non sono scritte nemmeno sui libri purtroppo. Questo fatto lo so' perché ricordo che l'aveva detto il prof. di geometria durante una lezione.
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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riga x colonna è l'unico che garantisce la proprietà associativa del prodotto.
rico
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1) ma quando faccio colonna per colonna l il primo elemento lo metto nelle prima riga e prima colonna ma il secondo elemento del prodotto colonna x colonna lo metto nella seconda riga seconda colonna giusto?altrimenti se nn ho sbagliato i conti mi viene verificata la proprieta associativa....io ho preso le matrici 2x2. La matrice A ha tutti elementi con valore 2, la matrice B tutti elementi con matrice 3 e la matrice C ha elementi della prima colonna con valore 2 e della seconda colonna 1.

2) Sulle mie dispense trovo la definizione del determinante nel seguente modo: "sia A una matrice quadrata di ordine n. Il determinante di A e il numero dato dalla somma del prodotto di n elementi presi uno in ogni riga e mai due nella stessa colonna, preceduto dal segno + o - a seconda che la permutazione degli indici di colonna sia pari o dispari"
Come definizione di permutazione dispari e pari ci e stato detto che le permutazioni dispari sono quelle che richiedono un numero dispari di scambi per essere riportate alla permutazione naturale e quelle pari richiedono un numero di scambi pari.
Come si fanno le permutazioni degli indici di colonna?o cosa s intende?

3) come ultima cosa, sulle mie dispense c e una dimostrazione stampata male e incomprensibile, la riporto:
"Se a_i,1,a_i,2.....a_i,n e Ca_i,1....C_a_i,n sono due righe della matrice A, il determinante di A e nullo.
Dimostrazione: per la proprieta D2 (D2: moltiplicando una riga di una matrice per uno scalare C il determinante risulta moltiplicato per C) il determinante di A e uguale a C moltiplicato il cambia segno (per la proprieta D4)[D4: se si scambiano due righe o due colonne di una matrice il suo determinante cambia di segno]; quindi |A|=-|A|, da cui segue l asserto"
io cosi nn la capisco....dopo quel "il" nn si capisce piu niente...qualcuno puo riportarmela in un modo piu comprensibile?

grazie ciao!
minimo
minimo - Genius - 4940 Punti
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1) è possibile che la proprietà associativa sia verificata per alcune particolari matrici, ma non in generale.

2) quella è la definizione. Nella pratica nessuno penserebbe di calcolare un determinante di rango 5 ricorrendo alla definizione. Nel caso di matrici di ordine 3 si usa la regola di Sarrus. Nel caso di matrici di ordine superiore si ricorre ad altri teoremi.

3) adesso ho parecchio da fare comunque in rete ci sono sicuramente altre dispense universitarie.
rico
rico - Sapiens - 610 Punti
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ok grazie....pero nn ho capito nella domanda 2 come fare le permutazioni degli indici...lo so calcolare un determinante...
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