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Salve, ho bisogno di una mano con un esercizio.. Grazie

Sono assegnati i vettori w=(-1,2,1), u=(1,1,1), t=(0,3,2). Verificare che questi tre vettori non sono un insieme di generatori dello spazio V, cioè che per un generico vettore v=(a,b,c) € V l'equazione v= xw+yu+zt non ammette nessuna soluzione. Determinare uno di questi vettori, sia esso v', e verificare che w, u, v' generano V.

Come devo procedere?? Grazie in anticipo.
romano90
romano90 - Genius - 8755 Punti
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Mi dispiace ma non me ne intendo di vettori e spazi vettoriali..

ti conviene aspettare l'onnisciente ciampax :asd
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Grz lo stesso, aspetterò! :move
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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se non sono generatori di V allora sono linearmente dipendenti: puoi verificarlo calcolando il determinante della matrice che ha per righe (o colonne) i vettori w, u, t; oppure col metodo di riduzione gaussiana vedi che uno dei vettori riga si ottiene con le combinazioni lineari degli altri due vettori, ovvero dopo la riduzione in scala hai una riga di zeri.
il significato geometrico è evidente: i tre vettori individuano un piano (a 2 dimensioni) nello spazio tridimensionale, per cui ogni vettore che sia ortogonale a tale piano (o che abbia una componente ortogonale al piano) non si può ottenere come combinazione lineare di u, w e t.
per trovare un vettore v' che soddisfi le specifiche puoi sfruttare il prodotto scalare (devono valere contemporaneamente w*v' = 0 e u*v' = 0, con * = prodotto scalare. in questo caso le soluzioni del sistema che ottieni dipenderanno da un solo parametro, cioè avrai infinito^1 soluzioni, tra le quali potrai sceglierne una arbitrariamente per fare la verifica finale) o andare per tentativi (sicuramente un vettore della base canonica ha una componente normale al piano).
per l'ultima verifica, calcoli il determinante della matrice che ha per righe i vettori u, w e v' e noti che è diverso da 0


quello che ho scritto vale nel caso V sia uno spazio di 3 dimensioni (ad esempio V = R^3). la tua consegna non lo definisce, ho provato a intuirlo perchè si chiede di trovare v' = (a, b, c) € V con a, b, c non specificati, e dal fatto che i vettori u, w, t sono indipendenti se presi due alla volta (infatti nessuno è proporzionale a un altro)
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Sei stato chiarissimo, cmq l'esercizio si suppone nel piano.
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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in che senso si suppone nel piano? in che piano? lo spazio V è generato da 3 vettori linearmente indipendenti ("[..] e verificare che w, u, v' generano V" ), quindi deve per forza essere di 3 dimensioni (se fosse un piano allora sarebbe generato da solo 2 vettori indipendenti)
adry105
adry105 - Genius - 3918 Punti
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Se non sono generatori allora sono linearmente indipendenti?..e chi lo dice?... Tre vettori possono essere dei generatori rispetto a uno spazio e non essere linearmente indipendenti! Al massimo se non sono linearmente indipendenti è sicuro che non siano una base per V!...

..Poi V=R^2 ..??
xico87
xico87 - Mito - 28236 Punti
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adry105: Se non sono generatori allora sono linearmente indipendenti?..e chi lo dice?...

nessuno, come nessuno dice che V sia effettivamente di 3 dimensioni (quindi correggo quanto scritto sopra). ma il procedimento resta tale e quale: hai comunque bisogno di un vettore indipendente rispetto agli altri due in maniera tale che puoi generare un qualsiasi spazio di una, due o tre dimensioni.
V quindi non è necessariamente R^2, è semplicemente un piano generico oppure una retta generica dello spazio tridimensionale, oppure lo stesso spazio tridimensionale.. in altre parole il procedimento vale indipendentemente dalla dimensione di V (che però sappiamo essere al massimo 3)
tamerlano
tamerlano - Erectus - 50 Punti
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scusatemi ma avrei un quesito da porvi
ho una base formata da tre vettori.....
v,w che sono di norma uno e ortogonali.....
poi vi è u che ha norma 2 e forma un angolo di 60 gradi con gli altri 2
infine ho un piano di equazione: x+y+z=10
la richiesta è di trovere un vettore ortogonale al piano
come si fa quando la base nn è oprtonormale come in questo caso?
vi ringrazio anticipatamente
ciampax
ciampax - Tutor - 29109 Punti
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